Soru:
\(\tan\left(\arccos\left(-\frac{2}{3}\right)\right)\) ifadesinin değerini bulunuz. (Sonucun pozitif mi negatif mi olacağını belirterek işlemi yapınız.)
Çözüm:
💡 Bu soru, bir arccos ifadesinin tanjantını bulmayı gerektirir. Bir dik üçgen çizerek ilerlemek en doğru yoldur.
- ➡️ \(\arccos\left(-\frac{2}{3}\right) = \theta\) diyelim. Bu durumda \(\cos(\theta) = -\frac{2}{3}\) olur.
- ➡️ \(\theta\) açısı \([0, \pi]\) aralığındadır. Kosinüsü negatif olduğu için \(\theta\) açısı \(\frac{\pi}{2}\) ile \(\pi\) arasındadır (yani II. Bölge).
- ➡️ Bir dik üçgende \(\cos(\theta) = \frac{\text{Komşu Kenar}}{\text{Hipotenüs}}\)'tür. Buna göre, komşu kenar = -2 ve hipotenüs = 3 alabiliriz. (Negatif işaret, açının II. Bölge'de olmasından ve x-koordinatının negatif olmasından kaynaklanır).
- ➡️ Pisagor teoremi ile karşı kenarı bulalım: \((-2)^2 + (karşı)^2 = 3^2\) → \(4 + (karşı)^2 = 9\) → \((karşı)^2 = 5\) → \(karşı = \sqrt{5}\). Açı II. Bölge'de olduğu için y-koordinatı (karşı kenar) pozitiftir.
- ➡️ \(\tan(\theta) = \frac{\text{Karşı Kenar}}{\text{Komşu Kenar}} = \frac{\sqrt{5}}{-2} = -\frac{\sqrt{5}}{2}\)
✅ Sonuç: \(\tan\left(\arccos\left(-\frac{2}{3}\right)\right) = -\frac{\sqrt{5}}{2}\). Açı II. Bölge'de olduğu için tanjant değeri negatiftir.
