Türev ve integral ilişkisi (Ters işlemler)

Çözümlü Örnek 2

Soru:

Aşağıdaki fonksiyonun belirsiz integralini bulunuz: \( g'(x) = 12x^3 - 4x + 5 \)

Çözüm:

💡 Bu, birinci örneğin ters işlemidir! Türevi verilen fonksiyonu bulmak için integral alırız. Her bir terimin integralini, kuvveti bir artırıp yeni kuvvete bölerek alırız.

• ➡️ \( \int 12x^3 \, dx = 12 \cdot \frac{x^{3+1}}{3+1} = 12 \cdot \frac{x^4}{4} = 3x^4 \)
• ➡️ \( \int (-4x) \, dx = -4 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} = -4 \cdot \frac{x^2}{2} = -2x^2 \)
• ➡️ \( \int 5 \, dx = 5x \)
• ➡️ Belirsiz integralde bir sabit eklenir: \( + C \)

✅ Sonuç: \( g(x) = 3x^4 - 2x^2 + 5x + C \). Bu, birinci sorudaki \( f(x) \) fonksiyonuna sabit bir sayı farkıyla eşittir. Bu da türev ve integralin birbirinin tersi olduğunu gösterir.