Türev ve integral ilişkisi (Ters işlemler)

Çözümlü Örnek 3

Soru:

Türevi \( h'(x) = \cos(x) \) olan ve \( x=0 \) noktasında değeri 4 olan bir \( h(x) \) fonksiyonu verilsin. Buna göre \( h(x) \) fonksiyonunu bulunuz.

Çözüm:

💡 Bu problem, integrali kullanarak bir fonksiyonu "geri getirmemizi" ve başlangıç değerini (başlangıç koşulu) kullanarak integral sabitini (\( C \)) bulmamızı gerektirir.

• ➡️ İlk adım, \( h'(x) \)'in integralini alarak genel formu bulmaktır: \( h(x) = \int \cos(x) \, dx = \sin(x) + C \)
• ➡️ Şimdi, \( h(0) = 4 \) başlangıç koşulunu kullanırız: \( h(0) = \sin(0) + C = 4 \)
• ➡️ \( \sin(0) = 0 \) olduğundan, \( 0 + C = 4 \) ve buradan \( C = 4 \) bulunur.

✅ Sonuç: \( h(x) = \sin(x) + 4 \). Bu, türev ve integral ilişkisini ve bir başlangıç koşulunun integral sabitini nasıl belirlediğini gösterir.