Soru:
Aşağıdaki belirli integrali hesaplayınız:
\[
\int_{1}^{e} \frac{\ln x}{x} \, dx
\]
Çözüm:
💡 Bu integrali çözmek için değişken değiştirme (substitution) yöntemi kullanılır.
- ➡️ İlk adım: \( u = \ln x \) diyelim. O zaman \( du = \frac{1}{x} dx \) olur.
- ➡️ İkinci adım: Sınırları da \( u \) cinsinden ifade edelim:
- Alt sınır: \( x = 1 \) iken \( u = \ln 1 = 0 \)
- Üst sınır: \( x = e \) iken \( u = \ln e = 1 \)
- ➡️ Üçüncü adım: İntegrali yeniden yazalım:
\[
\int_{1}^{e} \frac{\ln x}{x} \, dx = \int_{0}^{1} u \, du
\]
- ➡️ Dördüncü adım: Şimdi bu basit integrali hesaplayalım:
\[
\int_{0}^{1} u \, du = \left[ \frac{u^2}{2} \right]_{0}^{1} = \frac{1^2}{2} - \frac{0^2}{2} = \frac{1}{2}
\]
✅ Sonuç: \[ \int_{1}^{e} \frac{\ln x}{x} \, dx = \frac{1}{2} \]
