Soru:
Aşağıdaki belirli integrali hesaplayınız:
\[
\int_{-1}^{2} |x| \, dx
\]
Çözüm:
💡 Mutlak değer içeren integralleri çözmek için, integrali mutlak değerin işaret değiştirdiği noktaya göre parçalamak gerekir. Burada \( x=0 \) noktasında işaret değişir.
- ➡️ İlk adım: İntegrali parçalara ayıralım:
\[
\int_{-1}^{2} |x| \, dx = \int_{-1}^{0} |x| \, dx + \int_{0}^{2} |x| \, dx
\]
- ➡️ İkinci adım: Her parçadaki mutlak değeri kaldıralım:
- \([-1, 0]\) aralığında \( x \le 0 \) olduğundan \( |x| = -x \)
- \([0, 2]\) aralığında \( x \ge 0 \) olduğundan \( |x| = x \)
- ➡️ Üçüncü adım: İntegralleri ayrı ayrı hesaplayalım:
\[
\int_{-1}^{0} -x \, dx = \left[ -\frac{x^2}{2} \right]_{-1}^{0} = (0) - \left( -\frac{(-1)^2}{2} \right) = 0 - (-\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}
\]
\[
\int_{0}^{2} x \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{2} = \frac{2^2}{2} - 0 = \frac{4}{2} = 2
\]
- ➡️ Dördüncü adım: Parçaların sonuçlarını toplayalım:
\[
\frac{1}{2} + 2 = \frac{5}{2}
\]
✅ Sonuç: \[ \int_{-1}^{2} |x| \, dx = \frac{5}{2} \]
