Alt küme sayısı formülü (2ⁿ)

\(s(A) = n\) olmak üzere, A kümesinin;

• 3 elemanlı alt kümelerinin sayısı 35'tir.

Buna göre, bu A kümesinin toplam alt küme sayısı kaçtır?

💡 Bu soru, kombinasyon bilgisi gerektirir. \(n\) elemanlı bir kümenin \(r\) elemanlı alt kümelerinin sayısı \(C(n, r)\) formülü ile bulunur.

• ➡️ 1. Adım: 3 elemanlı alt küme sayısını kombinasyon formülü ile yazalım: \(C(n, 3) = 35\).
• ➡️ 2. Adım: Kombinasyon formülünü açalım: \(\frac{n!}{3!(n-3)!} = 35\).
• ➡️ 3. Adım: Denklemi sadeleştirip çözelim: \(\frac{n \times (n-1) \times (n-2)}{3 \times 2 \times 1} = 35\) \(\frac{n(n-1)(n-2)}{6} = 35\) \(n(n-1)(n-2) = 210\)
• ➡️ 4. Adım: Ardışık üç sayının çarpımı 210 edecek. Deneyerek bulalım: \(7 \times 8 \times 9 = 504\) (Büyük), \(6 \times 7 \times 8 = 336\) (Hala büyük), \(5 \times 6 \times 7 = 210\). Evet! \(n=7\).
• ➡️ 5. Adım: Şimdi toplam alt küme sayısını bulalım: \(2^n = 2^7 = 128\).

✅ Sonuç: A kümesinin toplam 128 alt kümesi vardır.