Soru:
Aşağıdaki parçalı fonksiyonun tanımlı olduğu tüm \( x \) gerçek sayıları için geçerli olması istenmektedir. Buna göre, \( a \) ve \( b \) gerçek sayılarını bulunuz.
\[
g(x) =
\begin{cases}
3x - a, & x \le 1 \\
bx + 4, & x > 1
\end{cases}
\]
Çözüm:
💡 Bir parçalı fonksiyonun tüm gerçek sayılarda tanımlı ve sürekli olması için, parçaların birleşim noktalarındaki değerlerinin eşit olması gerekir. Burada birleşim noktası \( x = 1 \)'dir.
- ➡️ İlk olarak, \( x=1 \) noktasında her iki parçanın da değerini bulalım.
Birinci parça: \( g(1) = 3(1) - a = 3 - a \)
İkinci parça: \( x>1 \) için tanımlandığından doğrudan \( x=1 \) yazamayız, ancak soldan limit (birinci parça) ve sağdan limit (ikinci parça) alırız. Süreklilik için bu limitler eşit olmalıdır.
- ➡️ Soldan limit: \( \lim_{x \to 1^-} g(x) = 3(1) - a = 3 - a \)
Sağdan limit: \( \lim_{x \to 1^+} g(x) = b(1) + 4 = b + 4 \)
- ➡️ Süreklilik için: \( 3 - a = b + 4 \) olmalıdır. Bu bize \( -a - b = 1 \) veya \( a + b = -1 \) denklemini verir. Bu tek başına yeterli değildir. Fonksiyonun tanımlı olması için ayrıca \( x=1 \) noktasındaki değerin de bu limite eşit olması gerekir. \( x=1 \) birinci parçada tanımlı olduğundan \( g(1) = 3 - a \)'dır. Zaten soldan limit de bu değere eşit olduğundan, süreklilik koşulu sadece \( 3 - a = b + 4 \) denklemine indirgenir.
✅ Bu bir denklemdir ve \( a \) ve \( b \) için sonsuz çözüm vardır. Ancak soru genellikle sadece süreklilik koşulunu sorar. Cevap olarak \( a \) ve \( b \)'nin \( a + b = -1 \) bağıntısını sağlayan herhangi bir gerçek sayı olduğu söylenebilir. Örneğin, \( a = 2 \) için \( b = -3 \) olur.
Not: Eğer soruda başka bir ek koşul (örneğin türevlenebilirlik) verilseydi, ikinci bir denklem daha elde edilirdi.
