Soru:
Gerçek sayılarda tanımlı bir \( k(x) \) fonksiyonu, "\( x \)'in ondalık kısmı" olarak tanımlanmıştır. (Yani \( k(x) \), \( x \) sayısının tam sayı kısmı çıkarıldıktan sonra kalan \( [0, 1) \) aralığındaki sayıdır). Bu fonksiyonu parçalı olarak ifade ediniz ve \( k(2.75) \) ile \( k(-1.3) \) değerlerini bulunuz.
Çözüm:
💡 Bir \( x \) gerçek sayısının ondalık kısmı, \( x - \lfloor x \rfloor \) işlemi ile bulunur, burada \( \lfloor x \rfloor \) (zemin fonksiyonu) \( x \)'ten küçük veya eşit en büyük tam sayıyı verir.
- ➡️ Parçalı Tanım: Herhangi bir \( x \) gerçel sayısı için, \( n \le x < n+1 \) koşulunu sağlayan bir \( n \) tam sayısı vardır. Bu durumda \( \lfloor x \rfloor = n \) olur. Dolayısıyla ondalık kısım \( k(x) = x - n \) olur. Bu, her tam sayı aralığı için farklı bir doğrusal parça anlamına gelir. Genel parçalı gösterim şöyledir:
\( k(x) = x - n, \quad \text{ için } n \le x < n+1 \text{ ve } n \in \mathbb{Z} \)
- ➡️ \( k(2.75) \) için: \( 2 \le 2.75 < 3 \) olduğundan \( n = 2 \)'dir.
\( k(2.75) = 2.75 - 2 = 0.75 \)
- ➡️ \( k(-1.3) \) için: Dikkat! Zemin fonksiyonu negatif sayılarda farklı çalışır. \( -1.3 \) sayısından küçük veya eşit en büyük tam sayı \( -2 \)'dir. Çünkü \( -2 \le -1.3 < -1 \). Yani \( n = -2 \).
\( k(-1.3) = (-1.3) - (-2) = -1.3 + 2 = 0.7 \)
✅ Sonuç: \( k(2.75) = 0.75 \) ve \( k(-1.3) = 0.7 \). Fonksiyonun parçalı yapısı, her tam sayı aralığında bir doğru parçasından oluşan ve " testere dişi " olarak adlandırılan bir grafiktir.
