Çözümlü Örnek 3
Soru:
Reel sayılar kümesinde \( m \otimes n = 3mn - m - n + 1 \) işlemi veriliyor.
Bu işlemin etkisiz elemanını bulunuz.
Çözüm:
🌟 Bir işlemin etkisiz elemanı (e olsun), her x için \( x \otimes e = x \) eşitliğini sağlar. Bu denklemi çözerek e'yi bulacağız.
- ➡️ Birinci adım: \( x \otimes e = x \) yazalım ve işlem kuralını uygulayalım.
\( 3 \cdot x \cdot e - x - e + 1 = x \)
- ➡️ İkinci adım: Bilinenleri bir tarafa, bilinmeyenleri bir tarafa toplayalım.
\( 3xe - x - e + 1 = x \)
\( 3xe - e = x + x - 1 \)
\( 3xe - e = 2x - 1 \)
- ➡️ Üçüncü adım: e parantezine alalım.
\( e(3x - 1) = 2x - 1 \)
- ➡️ Dördüncü adım: Bu eşitliğin her x değeri için sağlanması için, e'nin bir sabit sayı olması gerekir. x'ten bağımsız olmalıdır. e'yi yalnız bırakalım:
\( e = \frac{2x - 1}{3x - 1} \)
Pay ve paydayı, x'ten bağımsız hale getirmeye çalışalım. Payı, paydanın bir katı şeklinde yazabilir miyiz?
\( 2x - 1 = \frac{2}{3}(3x - 1) - \frac{1}{3} \) işlemi deneyebiliriz. Bu bizi sabit bir sonuca götürmez. Doğru yol, e'nin x'ten bağımsız bir sabit olduğunu kabul edip denklemde x'li terimlerin katsayılarını eşitlemektir.
\( e(3x - 1) = 2x - 1 \)
\( 3e \cdot x - e = 2x - 1 \)
Bu eşitliğin her x için sağlanması için:
x'li terimlerin katsayıları eşit olmalı: \( 3e = 2 \) → \( e = \frac{2}{3} \)
Sabit terimler eşit olmalı: \( -e = -1 \) → \( e = 1 \)
Bu iki sonuç birbiriyle çelişiyor (\( \frac{2}{3} \neq 1 \)).
- ➡️ Beşinci adım: Bir çelişki elde ettik. Bu durum, işlemin bir etkisiz elemanının olmadığını gösterir.
✅ Sonuç: Verilen \( \otimes \) işleminin bir etkisiz elemanı yoktur.
