Soru: $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x$ fonksiyonunun yerel maksimum ve minimum noktalarını bulunuz.
A) Yerel maksimum: $x = 1$, Yerel minimum: $x = 3$
B) Yerel maksimum: $x = 3$, Yerel minimum: $x = 1$
C) Yerel maksimum: $x = -1$, Yerel minimum: $x = 3$
D) Yerel maksimum: $x = 1$, Yerel minimum: $x = -3$
Çözüm: Öncelikle fonksiyonun türevini alalım: $f'(x) = 3x^2 - 12x + 9$. Türevi sıfıra eşitleyerek kritik noktaları bulalım: $3x^2 - 12x + 9 = 0 \Rightarrow x^2 - 4x + 3 = 0 \Rightarrow (x - 1)(x - 3) = 0$. Kritik noktalar $x = 1$ ve $x = 3$ olur. İkinci türevi alalım: $f''(x) = 6x - 12$. $f''(1) = 6(1) - 12 = -6 < 0$ olduğundan $x = 1$ noktasında yerel maksimum vardır. $f''(3) = 6(3) - 12 = 6 > 0$ olduğundan $x = 3$ noktasında yerel minimum vardır. Cevap A seçeneğidir.
