Popülasyon nedir

Bir gölde yaşayan bir balık popülasyonunun büyüme hızı, popülasyon büyüklüğüne (\(P\)) bağlı olarak \(r = 0.8\) (içsel artış oranı) ve \(K = 2000\) (taşıma kapasitesi) kullanılarak Lojistik Büyüme Modeli ile tanımlanmaktadır. Başlangıç popülasyon büyüklüğü \(P_0 = 200\) bireydir. Bu modele göre, popülasyon büyüklüğünün 1000'e ulaşması için gereken zamanı (yıl cinsinden) bulunuz. (Lojistik denklem: \(\frac{dP}{dt} = rP(1-\frac{P}{K}\))

💡 Lojistik büyüme denkleminin ayrılabilir bir diferansiyel denklem olduğunu hatırlayalım. Çözümü için adımları izleyelim.

• ➡️ Adım 1: Denklemi integral formuna getirelim.
  \(\frac{dP}{dt} = 0.8P(1-\frac{P}{2000})\)
  \(\frac{dP}{P(1-\frac{P}{2000})} = 0.8 dt\)
• ➡️ Adım 2: Sol tarafı basit kesirlere ayıralım.
  \(\frac{1}{P(1-\frac{P}{2000})} = \frac{A}{P} + \frac{B}{1-\frac{P}{2000}}\)
  Payda eşitlersek: \(1 = A(1-\frac{P}{2000}) + BP = A - \frac{A}{2000}P + BP\)
  Katsayıları eşitleyelim:
  P'li terimler: \(-\frac{A}{2000} + B = 0\)
  Sabit terimler: \(A = 1\)
  Buradan \(A=1\) ve \(B = \frac{1}{2000}\) bulunur.
  İntegral: \(\int (\frac{1}{P} + \frac{\frac{1}{2000}}{1-\frac{P}{2000}}) dP = \int 0.8 dt\)
• ➡️ Adım 3: İntegrali alalım.
  \(\int \frac{1}{P} dP + \frac{1}{2000} \int \frac{dP}{1-\frac{P}{2000}} = 0.8t + C\)
  \(\ln|P| - \ln|1-\frac{P}{2000}| = 0.8t + C\) (İkinci integralde \(u=1-\frac{P}{2000}\) dönüşümü yapıldı)
  \(\ln\left|\frac{P}{1-\frac{P}{2000}}\right| = 0.8t + C\)
• ➡️ Adım 4: Başlangıç koşulunu uygulayıp C'yi bulalım. \(t=0\), \(P=200\)
  \(\ln\left|\frac{200}{1-\frac{200}{2000}}\right| = 0.8(0) + C\)
  \(\ln\left|\frac{200}{1-0.1}\right| = C\)
  \(\ln\left|\frac{200}{0.9}\right| = C\)
  \(\ln\left(\frac{2000}{9}\right) = C\)
• ➡️ Adım 5: Genel denklemi yazalım ve P=1000 için t'yi çözelim.
  \(\ln\left(\frac{P}{1-\frac{P}{2000}}\right) = 0.8t + \ln\left(\frac{2000}{9}\right)\)
  \(\ln\left(\frac{P}{1-\frac{P}{2000}}\right) - \ln\left(\frac{2000}{9}\right) = 0.8t\)
  \(\ln\left(\frac{P}{1-\frac{P}{2000}} \times \frac{9}{2000}\right) = 0.8t\)
  P=1000 için:
  \(\ln\left(\frac{1000}{1-0.5} \times \frac{9}{2000}\right) = 0.8t\)
  \(\ln\left(\frac{1000}{0.5} \times \frac{9}{2000}\right) = 0.8t\)
  \(\ln\left(2000 \times \frac{9}{2000}\right) = 0.8t\)
  \(\ln(9) = 0.8t\)
  \(t = \frac{\ln(9)}{0.8} = \frac{2.1972}{0.8} \approx 2.7465 \text{ yıl}\)

✅ Sonuç: Popülasyonun 1000 bireye ulaşması yaklaşık 2.75 yıl sürer.