Soru:
Bir şehirde yaşayan insan popülasyonu 50 yılda 500.000'den 2.000.000'a çıkmıştır. Bu süre boyunca popülasyonun sabit bir üstel büyüme oranıyla arttığı varsayılırsa, yıllık büyüme oranı (\(r\)) yüzde kaçtır? (Üstel büyüme formülü: \(N_t = N_0 e^{rt}\))
Çözüm:
💡 Bu problem, üstel büyüme formülünü kullanarak bilinmeyen büyüme oranını (\(r\)) bulmamızı istiyor.
- ➡️ Adım 1: Bilinen değişkenleri formülde yerine koyalım.
\(N_0 = 500,000\)
\(N_t = 2,000,000\)
\(t = 50\) yıl
Formül: \(2,000,000 = 500,000 \times e^{r \times 50}\)
- ➡️ Adım 2: Denklemi \(r\)'yi yalnız bırakacak şekilde sadeleştirelim.
\(\frac{2,000,000}{500,000} = e^{50r}\)
\(4 = e^{50r}\)
- ➡️ Adım 3: Her iki tarafın doğal logaritmasını alalım (ln).
\(\ln(4) = \ln(e^{50r})\)
\(\ln(4) = 50r\) (Çünkü \(\ln(e^x) = x\))
- ➡️ Adım 4: \(r\)'yi çözelim.
\(r = \frac{\ln(4)}{50}\)
\(\ln(4) \approx 1.3863\)
\(r = \frac{1.3863}{50} \approx 0.02773\)
- ➡️ Adım 5: \(r\)'yi yüzde olarak ifade edelim.
\(r \% = 0.02773 \times 100 \approx 2.773\%\)
✅ Sonuç: Popülasyonun yıllık büyüme oranı yaklaşık %2.77'dir.
