Soru:
Yatayla \( \theta = 30^\circ \) açı yapan sürtünmesiz bir eğimli virajda, \( m = 1000 \, \text{kg} \) kütleli bir araç \( v \) hızıyla dönmektedir. Virajın yarıçapı \( R = 50 \, \text{m} \) olduğuna göre, aracın merkezcil kuvveti sağlayacak şekilde güvenle dönebilmesi için hızı \( v \) kaç \( \text{m/s} \) olmalıdır? (\( g = 10 \, \text{m/s}^2 \))
Çözüm:
💡 Sürtünmesiz eğimli virajda, merkezcil kuvveti sağlayan tek şey yolun yan duvarının (eğimin) araca uyguladığı normal kuvvetin (\( N \)) yatay bileşenidir.
- ➡️ Kuvvet Dengesi: Düşeyde ağırlık (\( mg \)) ve normal kuvvetin düşey bileşeni (\( N \cos\theta \)) dengededir. Yatayda ise normal kuvvetin yatay bileşeni (\( N \sin\theta \)) merkezcil kuvveti (\( F_c \)) sağlar.
- ➡️ Denklemler:
Düşey Denge: \( N \cos\theta = mg \) (1)
Yatay (Merkezcil) Kuvvet: \( N \sin\theta = \frac{mv^2}{R} \) (2)
- ➡️ Denklemleri Oranlama: (2) numaralı denklemi (1) numaralı denkleme bölelim:
\( \frac{N \sin\theta}{N \cos\theta} = \frac{\frac{mv^2}{R}}{mg} \)
\( \tan\theta = \frac{v^2}{gR} \)
- ➡️ Hızı Bulma: Bu formülden \( v \)'yi çekelim:
\( v = \sqrt{g R \tan\theta} \)
\( v = \sqrt{10 \times 50 \times \tan(30^\circ)} \)
\( v = \sqrt{500 \times \frac{1}{\sqrt{3}}} \approx \sqrt{500 \times 0.577} \approx \sqrt{288.5} \approx 16.98 \, \text{m/s} \)
✅ Sonuç: Aracın güvenle dönebilmesi için hızı yaklaşık 17 m/s olmalıdır.
