Soru:
Bir cisim, denge konumu \( x=0 \) olan bir yayın ucuna bağlanmıştır. Cismin periyodu \( T = 2 \) saniyedir. Cismin genliği \( A = 10 \) cm olduğuna göre, cisim denge konumundan geçtikten \( t = \frac{1}{6} \) s sonraki konumunu ve hızının büyüklüğünü bulunuz.
Çözüm:
💡 Basit harmonik harekette konum denklemi \( x(t) = A \cdot \sin(\omega t + \phi_0) \) ve hız denklemi \( v(t) = A \omega \cdot \cos(\omega t + \phi_0) \) şeklindedir. Cisim denge konumundan geçtiği için başlangıç fazı \( \phi_0 = 0 \) alınır.
- ➡️ 1. Adım: Açısal Hızı Bulma
Periyot \( T = 2 \) s ise, açısal hız \( \omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{2} = \pi \) rad/s'dir.
- ➡️ 2. Adım: Konumu Hesaplama
\( t = \frac{1}{6} \) s için konum denklemi: \( x = A \cdot \sin(\omega t) = 0.1 \cdot \sin(\pi \cdot \frac{1}{6}) \). (Birimleri metreye çevirdik: 10 cm = 0.1 m)
\( x = 0.1 \cdot \sin(\frac{\pi}{6}) = 0.1 \cdot \frac{1}{2} = 0.05 \) m = 5 cm.
- ➡️ 3. Adım: Hızı Hesaplama
Hız denklemi: \( v = A \omega \cdot \cos(\omega t) = 0.1 \cdot \pi \cdot \cos(\pi \cdot \frac{1}{6}) \).
\( v = 0.1\pi \cdot \cos(\frac{\pi}{6}) = 0.1\pi \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{0.1\pi\sqrt{3}}{2} \) m/s.
Sayısal değer: \( v \approx \frac{0.1 \cdot 3.14 \cdot 1.73}{2} \approx 0.272 \) m/s = 27.2 cm/s.
✅ Sonuç: Cisim denge konumundan 5 cm uzakta ve hızı 27.2 cm/s'dir.
