Soru:
Bir cisim basit harmonik hareket yapmaktadır. Cismin konum-zaman denklemi \( x(t) = 0.2 \cdot \cos(4\pi t + \frac{\pi}{3}) \) metre olarak verilmiştir. Buna göre:
- a) Hareketin genliği, periyodu ve frekansı nedir?
- b) \( t = 0 \) anında cismin konumu, hızı ve ivmesi nedir?
- c) Cismin ilk kez denge konumundan (\(x=0\)) geçeceği en küçük \( t > 0 \) değeri nedir?
Çözüm:
💡 Denklem \( x(t) = A \cos(\omega t + \phi_0) \) formundadır. Hız ve ivme, konumun zamana göre türevi alınarak bulunur.
- ➡️ a) Temel Büyüklükler
Genlik \( A = 0.2 \) m = 20 cm.
Açısal hız \( \omega = 4\pi \) rad/s.
Periyot \( T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{4\pi} = 0.5 \) s.
Frekans \( f = \frac{1}{T} = \frac{1}{0.5} = 2 \) Hz.
- ➡️ b) t=0 anındaki değerler
Konum: \( x(0) = 0.2 \cdot \cos(0 + \frac{\pi}{3}) = 0.2 \cdot \cos(60^\circ) = 0.2 \cdot 0.5 = 0.1 \) m = 10 cm.
Hız: \( v(t) = \frac{dx}{dt} = -A\omega \cdot \sin(\omega t + \phi_0) \)
\( v(0) = -0.2 \cdot 4\pi \cdot \sin(\frac{\pi}{3}) = -0.8\pi \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = -0.4\pi\sqrt{3} \) m/s ≈ -2.17 m/s.
İvme: \( a(t) = \frac{dv}{dt} = -A\omega^2 \cdot \cos(\omega t + \phi_0) \)
\( a(0) = -0.2 \cdot (4\pi)^2 \cdot \cos(\frac{\pi}{3}) = -0.2 \cdot 16\pi^2 \cdot 0.5 = -1.6\pi^2 \) m/s² ≈ -15.8 m/s².
- ➡️ c) Denge Konumundan İlk Geçiş Zamanı
Denge konumu \( x=0 \) olacağından:
\( 0.2 \cdot \cos(4\pi t + \frac{\pi}{3}) = 0 \)
\( \cos(4\pi t + \frac{\pi}{3}) = 0 \)
Kosinüs fonksiyonu \( \frac{\pi}{2} \) ve \( \frac{3\pi}{2} \) değerlerinde sıfır olur. İlk geçiş için:
\( 4\pi t + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} \)
\( 4\pi t = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6} \)
\( t = \frac{\pi}{6} \cdot \frac{1}{4\pi} = \frac{1}{24} \) s ≈ 0.0417 s.
✅ Sonuç: a) A=20 cm, T=0.5 s, f=2 Hz. b) x=10 cm, v≈-2.17 m/s, a≈-15.8 m/s². c) t=1/24 s.
