Soru:
Bir cisim basit harmonik hareket yapmaktadır. Cismin konum-zaman denklemi \( x(t) = 0.4 \cos(8\pi t) \) metre olarak verilmiştir.
- Cismin maksimum hızının büyüklüğü nedir ve bu hıza hangi konumlarda ulaşır?
- Cismin maksimum ivmesinin büyüklüğü nedir ve bu ivmeye hangi konumlarda ulaşır?
Çözüm:
💡 Konum denklemi \( x(t) = A\cos(\omega t + \phi) \) formundadır. Buradan A ve ω'yu okuyabiliriz.
- ➡️ Denklemden: Genlik \( A = 0.4 \) m, Açısal frekans \( \omega = 8\pi \) rad/s.
- ➡️ Maksimum Hız: \( v_{maks} = A\omega = 0.4 \times 8\pi = 3.2\pi \) m/s ≈ 10.05 m/s. Hız denklemi \( v(t) = -A\omega \sin(\omega t + \phi) \)'dir. Sinüs fonksiyonu ±1 değerini aldığında hız maksimum/minimum olur. Bu, \( \cos(\omega t + \phi) = 0 \) olduğunda, yani denge konumunda (x=0) gerçekleşir.
- ➡️ Maksimum İvme: \( a_{maks} = A\omega^2 = 0.4 \times (8\pi)^2 = 0.4 \times 64\pi^2 = 25.6\pi^2 \) m/s² ≈ 252.7 m/s². İvme denklemi \( a(t) = -A\omega^2 \cos(\omega t + \phi) \)'dir. Kosinüs fonksiyonu ±1 değerini aldığında ivme maksimum/minimum olur. Bu, \( |\cos(\omega t + \phi)| = 1 \) olduğunda, yani uç noktalarda (x=±A = ±0.4 m) gerçekleşir.
✅ Sonuç: Maksimum hız ≈ 10.05 m/s ve x=0 konumunda; maksimum ivme ≈ 252.7 m/s² ve x=±0.4 m konumlarında olur.
