Çözümlü Örnek 4
Soru:
Karbon-14 (\(^{14}C\)) izotopu, radyoaktif bir izotoptur ve arkeolojide yaş tayininde kullanılır. Bir arkeolog, bir fosildeki \(^{14}C\) miktarının, canlı bir organizmadaki miktarının \( \frac{1}{4} \)'üne düştüğünü tespit ediyor. \(^{14}C\) izotopunun yarı ömrü 5730 yıl olduğuna göre, bu fosil yaklaşık kaç yaşındadır? (\( \log_{10}2 \approx 0.3010 \), \( \log_{10}3 \approx 0.4771 \) alınız.)
Çözüm:
💡 Radyoaktif bozunma, üstel bir azalma gösterir. Kalan miktar, başlangıç miktarının \( \left( \frac{1}{2} \right)^{t/T} \) katıdır. Burada \(t\) geçen süre, \(T\) ise yarı ömürdür.
- ➡️ 1. Adım: Bilinenleri yazalım. Başlangıç miktarı \(N_0\), kalan miktar \(N = \frac{N_0}{4}\), yarı ömür \(T = 5730\) yıl. Formül: \( N = N_0 \times \left( \frac{1}{2} \right)^{t/T} \)
- ➡️ 2. Adım: Denklemi kuralım. \( \frac{N_0}{4} = N_0 \times \left( \frac{1}{2} \right)^{t/5730} \). Her iki taraf \(N_0\)'a bölünür: \( \frac{1}{4} = \left( \frac{1}{2} \right)^{t/5730} \)
- ➡️ 3. Adım: \( \frac{1}{4} = \left( \frac{1}{2} \right)^2 \) olduğundan, \( \left( \frac{1}{2} \right)^2 = \left( \frac{1}{2} \right)^{t/5730} \). Üsler eşit olmalıdır: \( 2 = \frac{t}{5730} \)
- ➡️ 4. Adım: \(t\)'yi çözelim. \( t = 2 \times 5730 = 11460 \) yıl.
✅ Fosil yaklaşık 11460 yaşındadır. (Not: Bu, iki yarı ömre denk gelir).
