10. Sınıf 30-60-90 ve 45-45-90 Üçgeni Trigonometrik Oranları

Question

Bu üçgenlerdeki trigonometrik oranları (sinüs, kosinüs, tanjant) ezberlemekte zorlanıyorum. Hangi açıya karşı hangi kenarın geldiğini ve oranların nasıl oluştuğunu karıştırıyorum. Özellikle sorularda bu bilgiyi nasıl uygulayacağımı tam olarak kavrayamadım.

Answer 1

30-60-90 Üçgeni

Bu özel üçgende açılar 30°, 60° ve 90°'dir. Kenar uzunlukları arasında sabit bir oran vardır:

• 30° karşısındaki kenar: \( a \)
• 60° karşısındaki kenar: \( a\sqrt{3} \)
• 90° karşısındaki kenar (hipotenüs): \( 2a \)

Bu bilgileri kullanarak trigonometrik oranları yazabiliriz:

30° Açısı İçin:

• Sinüs: \( \sin(30^\circ) = \frac{karşı}{hipotenüs} = \frac{a}{2a} = \frac{1}{2} \)
• Kosinüs: \( \cos(30^\circ) = \frac{komşu}{hipotenüs} = \frac{a\sqrt{3}}{2a} = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
• Tanjan: \( \tan(30^\circ) = \frac{karşı}{komşu} = \frac{a}{a\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} \)

60° Açısı İçin:

• Sinüs: \( \sin(60^\circ) = \frac{karşı}{hipotenüs} = \frac{a\sqrt{3}}{2a} = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
• Kosinüs: \( \cos(60^\circ) = \frac{komşu}{hipotenüs} = \frac{a}{2a} = \frac{1}{2} \)
• Tanjan: \( \tan(60^\circ) = \frac{karşı}{komşu} = \frac{a\sqrt{3}}{a} = \sqrt{3} \)

45-45-90 Üçgeni (İkizkenar Dik Üçgen)

Bu özel üçgende iki açı 45° ve bir açı 90°'dir. İki dik kenarın uzunlukları birbirine eşittir. Kenar uzunlukları arasındaki oran:

• Dik kenarlar: \( a \)
• Hipotenüs: \( a\sqrt{2} \)

45° açıları için trigonometrik oranlar aynıdır:

45° Açısı İçin:

• Sinüs: \( \sin(45^\circ) = \frac{karşı}{hipotenüs} = \frac{a}{a\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \)
• Kosinüs: \( \cos(45^\circ) = \frac{komşu}{hipotenüs} = \frac{a}{a\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \)
• Tanjan: \( \tan(45^\circ) = \frac{karşı}{komşu} = \frac{a}{a} = 1 \)

Önemli Not: Bu oranları ezberlemek trigonometri problemlerini çözerken size büyük kolaylık sağlayacaktır.

Answer 2

10. Sınıf 30-60-90 ve 45-45-90 Üçgeni Trigonometrik Oranları Çözümlü Test Soruları

Soru 1: Bir ABC dik üçgeninde, m(∠A) = 30° ve m(∠B) = 60°'dir. |AB| kenarının uzunluğu 12 cm olduğuna göre, |AC| kenarının uzunluğu kaç cm'dir?
a) 6 b) 6√3 c) 12 d) 12√3 e) 24
Cevap: b) 6√3
Çözüm: 30-60-90 üçgeninde, 30° karşısındaki kenar hipotenüsün yarısıdır (x), 60° karşısındaki kenar x√3'tür. |AB| = 12 cm hipotenüs ise, 30° karşısındaki |BC| = 6 cm olur. |AC| kenarı 60° karşısında olduğu için uzunluğu 6√3 cm'dir.

Soru 2: Bir ikizkenar dik üçgenin hipotenüsü 10√2 cm'dir. Buna göre, bu üçgenin dik kenarlarından birinin uzunluğu kaç cm'dir ve sin45° değeri nedir?
a) 5, √2/2 b) 10, 1 c) 10√2, 1/2 d) 5√2, √2/2 e) 10, √2
Cevap: d) 5√2, √2/2
Çözüm: 45-45-90 üçgeninde hipotenüs, dik kenarın √2 katıdır. Hipotenüs = a√2 = 10√2 ise a = 10 cm olur. Ancak bu dik kenarın kendisidir. Sin45° = Karşı dik kenar / Hipotenüs = 10 / 10√2 = 1/√2 = √2/2'dir.

Soru 3: Aşağıdaki şekilde ABC bir dik üçgendir ve [AB] ⊥ [BC]'dir. |AB| = 8 cm ve tan(∠ACB) = 4/3 olduğuna göre, |AC| kaç cm'dir?
a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 e) 14
Cevap: c) 10
Çözüm: tan(∠ACB) = Karşı dik kenar / Komşu dik kenar = |AB| / |BC| = 8 / |BC| = 4/3. İçler dışlar çarpımı yapılırsa, 4|BC| = 24, |BC| = 6 cm bulunur. Pisagor teoremine göre |AC|² = |AB|² + |BC|² = 8² + 6² = 64 + 36 = 100, yani |AC| = 10 cm'dir.