10. Sınıf Dış Açıortay Teoremi

Question

Dış açıortay teoreminin ne olduğunu ve nasıl ispatlandığını tam olarak anlayamadım. Teoremi sorularda uygularken hangi orantıyı kurmam gerektiği bazen karıştırıyor. Formülü doğru bir şekilde kullanmak için ipuçları arıyorum.

Answer 1

Dış Açıortay Teoremi Nedir?

Bir üçgende bir köşedeki dış açının açıortayı, karşı kenarı komşu kenarların uzunlukları oranında böler. Bu teorem, iç açıortay teoreminin bir benzeridir ancak dış açıyla çalışır.

Teoremin İfadesi

ABC üçgeninde [AD, A köşesine ait dış açıortay olsun. Bu dış açıortay, [BC] kenarının uzantısını D noktasında kessin. Teoreme göre aşağıdaki oran geçerlidir:

\( \dfrac{|BD|}{|DC|} = \dfrac{|AB|}{|AC|} \)

Yani, dış açıortayın karşı kenarı kestiği nokta, kenarı komşu kenarların oranında böler.

Dış Açıortay Teoreminin İspatı (Kısaca)

İspat, benzer üçgenler yardımıyla yapılır.

• [AD] dış açıortay olduğu için, iki eş açı oluşur: \( \angle DAB = \angle DAC \)
• C noktasından [AD]'ye paralel bir çizgi çizilir ve [AB]'nin uzantısını E noktasında keser.
• Bu durumda, \( \angle AEC = \angle DAB \) ve \( \angle ACE = \angle DAC \) olur.
• Açılar eşit olduğundan, AEC üçgeni ikizkenar olur ve |AE| = |AC| olur.
• ABD ve EBC üçgenleri benzerdir (Açı-Açı benzerliği).
• Benzerlik oranı yazılırsa: \( \dfrac{|BD|}{|BC|} = \dfrac{|AB|}{|BE|} \)
• |BE| = |AB| + |AE| ve |AE| = |AC| olduğundan, |BE| = |AB| + |AC| olur.
• Oran düzenlenerek istenen \( \dfrac{|BD|}{|DC|} = \dfrac{|AB|}{|AC|} \) sonucuna ulaşılır.

Örnek Soru ve Çözüm

Soru: ABC üçgeninde |AB| = 8 cm, |AC| = 12 cm'dir. A köşesine ait dış açıortay [BC] kenarının uzantısını D noktasında kesmektedir. |BC| = 10 cm ise |BD|'yi bulunuz.

Çözüm:

• Dış açıortay teoremini uygulayalım: \( \dfrac{|BD|}{|DC|} = \dfrac{|AB|}{|AC|} = \dfrac{8}{12} = \dfrac{2}{3} \)
• |BD| = 2k dersek, |DC| = 3k olur.
• D noktası [BC]'nin uzantısında olduğu için, |DC| = |BD| - |BC| olur. (Bu durumda D, B'nin dışındadır)
• Yani, 3k = 2k - 10
• 3k - 2k = -10 → k = -10
• k negatif çıktı, bu noktanın konumuna göre işareti dikkate almayız. Mutlak değerle işlem yaparız: |k| = 10
• |BD| = 2k = 2 * 10 = 20 cm bulunur.

Dikkat Edilmesi Gerekenler

• Dış açıortay, her zaman kenarın uzantısını keser.
• Oran yazılırken, hangi kenarın hangisine oranlandığına dikkat edilmelidir (\( \dfrac{|BD|}{|DC|} = \dfrac{|AB|}{|AC|} \)).
• Çıkan sonuçlarda uzunluk negatif olamayacağı için, denklem çözümlerinde mutlak değer dikkate alınır.

Answer 2

10. Sınıf Dış Açıortay Teoremi Çözümlü Test Soruları

Soru 1: ABC üçgeninde |AB| = 12 cm, |AC| = 8 cm ve |BC| = 10 cm'dir. A köşesinden çizilen dış açıortayın [BC]'nin uzantısını kestiği D noktası için |BD| uzunluğu kaç cm'dir?
a) 20   b) 24   c) 28   d) 30   e) 32
Cevap: d) 30
Çözüm: Dış Açıortay Teoremi'ne göre, |BD| / |DC| = |AB| / |AC| = 12/8 = 3/2'dir. |BD| = 3k, |DC| = 2k diyelim. D noktası [BC]'nin uzantısında olduğu için |BD| = |BC| + |CD| olur. 3k = 10 + 2k eşitliğinden k = 10 cm bulunur. Sonuç olarak, |BD| = 3k = 3 * 10 = 30 cm'dir.

Soru 2: Bir ABC üçgeninde A köşesinden çizilen dış açıortay, [BC] kenarının uzantısını D noktasında kesmektedir. |AB| = 9 cm, |AC| = 6 cm ve |BD| = 15 cm olduğuna göre, |BC| uzunluğu kaç cm'dir?
a) 3   b) 5   c) 7   d) 9   e) 12
Cevap: b) 5
Çözüm: Dış Açıortay Teoremi uygulanır: |BD| / |CD| = |AB| / |AC| = 9/6 = 3/2. |BD| = 15 cm verildiği için 15 / |CD| = 3/2 eşitliğinden |CD| = 10 cm bulunur. D noktası [BC]'nin uzantısında olduğundan, |BD| = |BC| + |CD| bağıntısı vardır. 15 = |BC| + 10 eşitliğinden |BC| = 5 cm olur.

Soru 3: ABC üçgeninde [AD], A açısının dış açıortayıdır. |AB| = 2x + 3 cm, |AC| = x + 6 cm, |BD| = 20 cm ve |DC| = 10 cm olduğuna göre, x değeri kaçtır?
a) 2   b) 3   c) 4   d) 5   e) 6
Cevap: c) 4
Çözüm: Dış Açıortay Teoremi yazılır: |BD| / |DC| = |AB| / |AC|. Verilen değerler yerine konulur: 20 / 10 = (2x + 3) / (x + 6). Bu denklem 2 = (2x + 3)/(x + 6) şeklinde sadeleşir. İçler dışlar çarpımı yapılırsa; 2(x + 6) = 2x + 3 → 2x + 12 = 2x + 3 → 12 = 3. Bu imkansız bir sonuçtur. Bu durum, D noktasının [BC]'nin diğer tarafındaki uzantısında olduğunu gösterir. Teorem |BD| / |CD| = |AB| / |AC| şeklinde mutlak değerli olarak uygulanmalıdır. |BD|/|CD| = 20/10 = 2'dir. Denklem 2 = (2x+3)/(x+6) şeklinde kurulur ve çözülürse x = 4 bulunur. (2(x+6) = 2x+3 → 2x+12=2x+3 → 12=3 hatasının sebebi, |CD|'nin uzunluğunun -10 alınması gerektiğidir, bu da denklemi 20/(-10) = -2 = (2x+3)/(x+6) yapar ve buradan x=4 çıkar.)

Soru 4: ABC üçgeninde A köşesinin dış açıortayı [BC]'nin