Fonksiyonlarla İfade Edilen Denklem ve Eşitsizlikler
Fonksiyonlar, matematikte ilişkileri modellemek için kullanılan en önemli araçlardan biridir. Bir denklem veya eşitsizliği fonksiyon kavramını kullanarak ifade etmek, çözüm sürecini daha anlaşılır ve sistematik hale getirir.
Fonksiyonlarla Denklem Yazma
Bir denklem, genellikle \( f(x) = 0 \) veya \( f(x) = g(x) \) formunda ifade edilebilir. Buradaki temel fikir, denklemin çözümünü fonksiyonun grafiği üzerinde görmektir.
- \( f(x) = 0 \) Formu: \( 2x - 6 = 0 \) denklemi, \( f(x) = 2x - 6 \) fonksiyonu kullanılarak ifade edilebilir. Bu denklemin kökü, \( f(x) \) fonksiyonunun x-eksenini kestiği noktanın apsisidir.
- \( f(x) = g(x) \) Formu: \( x^2 = x + 2 \) denklemi, \( f(x) = x^2 \) ve \( g(x) = x + 2 \) fonksiyonları cinsinden yazılabilir. Bu denklemin çözümü, iki fonksiyonun grafiklerinin kesişim noktalarının apsisleridir.
Fonksiyonlarla Eşitsizlik Yazma
Eşitsizlikler de benzer şekilde fonksiyonlar yardımıyla ifade edilebilir. Çözüm kümesi, fonksiyonun grafiğinin x-ekseninin üstünde veya altında kaldığı aralıklara bakılarak bulunur.
- \( f(x) > 0 \) veya \( f(x) < 0 \): \( 2x - 6 > 0 \) eşitsizliği, \( f(x) = 2x - 6 \) fonksiyonu için \( f(x) > 0 \) şeklinde yazılır. Çözüm kümesi, fonksiyonun x-ekseninin üstünde olduğu aralıktır (\( x > 3 \)).
- \( f(x) \geq g(x) \) veya \( f(x) \leq g(x) \): \( x^2 \leq x + 2 \) eşitsizliği, \( f(x) = x^2 \) ve \( g(x) = x + 2 \) fonksiyonları için \( f(x) \leq g(x) \) şeklinde ifade edilir. Çözüm kümesi, \( f(x) \) fonksiyonunun grafiğinin \( g(x) \) fonksiyonunun grafiğinin altında veya ona eşit olduğu aralıklardır.
Çözüm Yöntemleri ve Grafik Yorumu
Fonksiyonlarla ifade edilmiş bir denklem veya eşitsizliği çözmek için şu adımlar izlenebilir:
- Fonksiyonu Sıfıra Eşitlemek: Denklem \( f(x) = g(x) \) formundaysa, tüm terimler bir tarafa toplanarak \( h(x) = f(x) - g(x) = 0 \) formuna getirilir.
- Kritik Noktaları Belirlemek: \( h(x) = 0 \) denkleminin kökleri (fonksiyonun x-eksenini kestiği noktalar) bulunur. Bu noktalar, eşitsizliğin işaretinin değişebileceği kritik noktalardır.
- İşaret Tablosu Oluşturmak: Kritik noktalar yardımıyla sayı doğrusu aralıklara bölünür ve her aralıkta fonksiyonun işareti (pozitif veya negatif) belirlenir.
- Çözüm Kümesini Yazmak: Eşitsizliğin yönüne göre (>, <, ≥, ≤) uygun aralıklar çözüm kümesine dahil edilir.
Grafiksel olarak, \( f(x) > 0 \) eşitsizli
