10. Sınıf Üçgende Yardımcı Elemanlar ve Bunlar Arasındaki İlişkiler

Question

Kenarortay, açıortay ve yükseklik gibi kavramların formüllerini ve özelliklerini birbirine karıştırıyorum. Hangisinin hangi durumlarda kullanıldığını ve birbirleriyle olan ilişkilerini tam olarak kuramıyorum. Özellikle sorularda bu elemanların uzunluklarını bulmakta zorlanıyorum.

Answer 1

Üçgende Yardımcı Elemanlar

Bir üçgenin kenarları ve açıları dışında, çeşitli problemlerin çözümünde bize yardımcı olan özel doğru parçaları vardır. Bunlara yardımcı elemanlar denir. En önemlileri kenarortay, açıortay ve yüksekliktir.

1. Kenarortay (Ağırlık Merkezi)

Bir üçgende bir köşeyi, karşı kenarın orta noktasına birleştiren doğru parçasına kenarortay denir.

• Bir üçgenin üç kenarortayı vardır.
• Kenarortaylar bir noktada kesişir. Bu noktaya üçgenin ağırlık merkezi denir ve genellikle G harfi ile gösterilir.
• Ağırlık merkezi, her bir kenarortayı tepe noktasına 2 birim, kenara 1 birim olacak şekilde iki parçaya böler.

Örneğin, A köşesinden çizilen kenarortay \( V_a \) olsun. Ağırlık merkezi G ise: \( |AG| = 2|GV_a| \) veya \( |AG| : |GV_a| = 2:1 \) olur.

2. Açıortay

Bir üçgende bir köşedeki açıyı iki eş açıya bölen ve karşı kenara uzanan doğru parçasına iç açıortay denir.

• Bir üçgenin üç iç açıortayı vardır.
• İç açıortaylar bir noktada kesişir. Bu nokta, üçgenin iç teğet çemberinin merkezidir.
• Açıortay Teoremi: Bir açıortay, karşı kenarı komşu kenarların oranında böler.

Örneğin, A köşesinden çizilen açıortay [BC] kenarını D noktasında kessin: \( \frac{|AB|}{|AC|} = \frac{|BD|}{|DC|} \)

3. Yükseklik

Bir üçgende bir köşeden, karşı kenara (veya onun uzantısına) dik olarak inilen doğru parçasına yükseklik denir.

• Bir üçgenin üç yüksekliği vardır.
• Yükseklikler bir noktada kesişir. Bu noktaya üçgenin diklik merkezi denir.
• Diklik merkezi; dar açılı üçgenlerde üçgenin içinde, geniş açılı üçgenlerde ise üçgenin dışında yer alır.

Yardımcı Elemanlar Arasındaki İlişkiler

• İkizkenar Üçgende: Taban açıları eşit olan bir ikizkenar üçgende, tepe noktasından çizilen;
  • Kenarortay aynı zamanda
  • Açıortay ve
  • Yüksekliktir.
  Yani bu üç yardımcı eleman çakışıktır.
• Eşkenar Üçgende: Tüm kenarları ve açıları eşit olduğu için, bir köşeden çizilen kenarortay, açıortay ve yükseklik hep çakışıktır. Ağırlık merkezi, iç teğet çemberin merkezi ve diklik merkezi aynı noktadır.

Bir üçgende, farklı köşelerden çizilen yardımcı elemanlar genellikle farklı

Answer 2

10. Sınıf Üçgende Yardımcı Elemanlar ve Bunlar Arasındaki İlişkiler Çözümlü Test Soruları

Soru 1: Bir ABC üçgeninde, kenarortayların kesişim noktası olan ağırlık merkezi G noktasıdır. |AG| = 12 cm olduğuna göre, bu kenarortayın A köşesinden G noktasına kadar olan kısmının uzunluğu kaç cm'dir?
a) 4   b) 6   c) 8   d) 9   e) 10
Cevap: c) 8
Çözüm: Bir kenarortay, ağırlık merkezi tarafından 2'ye 1 oranında bölünür. Köşeye daha yakın olan kısım, kenarortayın toplam uzunluğunun 2/3'üdür. |AG| = 12 cm ise, bu zaten köşeye yakın olan 2 birimlik kısımdır. Bu durumda kenarortayın tamamı (12 / 2) * 3 = 18 cm'dir. A köşesinden G noktasına olan mesafe sorulduğu ve bu da |AG| = 12 cm olarak verildiği için soruda bir çeldirici yoktur. Ancak seçenekler ve verilen değer düşünüldüğünde, |AG|'nin 12 cm olarak verilip "bu kenarortayın A köşesinden G noktasına kadar olan kısmı" ifadesiyle yine |AG| sorulmaktadır. Bu nedenle cevap 12 cm olmalı gibi görünebilir fakat 12 cm seçeneklerde yoktur. Bu durumda sorunun orijinalinde |AG| = 12 cm değil, kenarortayın tamamı 12 cm olmalıdır. Kenarortayın tamamı 12 cm ise, |AG| = (2/3)*12 = 8 cm olur. Seçenekler ve mantık hatası göz önüne alındığında çözüm bu şekildedir.

Soru 2: Bir ABC üçgeninin iç teğet çemberinin merkezi I'dır. m(∠ABC) = 50° ve m(∠BCA) = 70° olduğuna göre, m(∠BIC) kaç derecedir?
a) 105   b) 110   c) 115   d) 120   e) 125
Cevap: d) 120
Çözüm: İç teğet çemberin merkezi (iç açıortayların kesişim noktası) olan I noktası için, m(∠BIC) = 90° + (m(∠A)/2) formülü kullanılır. Verilen açılara göre, m(∠A) = 180° - (50° + 70°) = 60°'dir. Formülde yerine koyarsak: m(∠BIC) = 90° + (60°/2) = 90° + 30° = 120° bulunur.

Soru 3: Bir ABC üçgeninde [AD], A köşesine ait açıortaydır. |AB| = 10 cm, |AC| = 15 cm ve |BC| = 18 cm olduğuna göre, |BD| uzunluğu kaç cm'dir?
a) 6,4   b) 7,2   c) 8   d) 9   e) 10,8
Cevap: b) 7,2
Çözüm: Açıortay teoremine göre, bir açıortayın kendi kenarında ayırdığı parçaların oranı, diğer iki kenarın oranına eşittir. Yani |BD| / |DC| = |AB| / |AC| = 10/15 = 2/3'tür. |BD| = 2k ve |DC| = 3k dersek, |BC| = |BD| + |DC| = 5k = 18 cm olur. Buradan k = 18/5 = 3,6 cm bulunur. |BD| = 2k = 2 * 3,6 = 7,2 cm'dir.