10. Sınıf Fonksiyonun Tanım ve Görüntü Kümesi

Question

Fonksiyonun tanım kümesini bulurken x'in hangi değerleri alabileceğini anlamakta zorlanıyorum. Özellikle kesirli ve köklü ifadelerde sıfır payda ve negatif kök durumları kafamı karıştırıyor. Görüntü kümesini bulmak için de yapmam gereken işlemleri tam olarak kavrayamadım.

Answer 1

Fonksiyonun Tanım ve Görüntü Kümesi

Bir fonksiyonu tam olarak anlayabilmek için onun tanım kümesi ve görüntü kümesi kavramlarını iyi bilmek gerekir. Bu iki küme, fonksiyonun hangi sayılarla çalıştığını ve sonuçta neler üretebileceğini belirler.

Tanım Kümesi (Domain)

Bir fonksiyonda, bağımsız değişkenin (genellikle x) alabileceği gerçek sayı değerlerinin oluşturduğu kümeye tanım kümesi denir. Yani, fonksiyonun "yemeğe girebilecek malzemeleri"dir.

Tanım kümesi belirtilmediyse, fonksiyonu tanımsız yapan değerler dışındaki tüm gerçek sayılar tanım kümesi olarak alınır. Bir fonksiyonu tanımsız yapan durumlar şunlardır:

• Paydayı Sıfır Yapan Değerler: Kesirli ifadelerde paydayı sıfır yapan x değerleri tanım kümesine alınamaz.
  Örneğin; \( f(x) = \frac{1}{x-2} \) fonksiyonunda x = 2 değeri paydayı sıfır yapar. Bu nedenle Tanım Kümesi = R - {2}'dir.
• Çift Dereceli Kökün İçinin Negatif Olması: Çift indeksli köklü ifadelerde, kök içi negatif olamaz.
  Örneğin; \( g(x) = \sqrt{x+3} \) fonksiyonu için x + 3 ≥ 0 olmalıdır. Yani x ≥ -3. Tanım Kümesi = [-3, ∞)'dur.

Görüntü Kümesi (Range)

Tanım kümesindeki her bir elemanın, fonksiyon kuralında yerine yazılmasıyla elde edilen sonuç değerlerinin oluşturduğu kümeye görüntü kümesi denir. Bağımlı değişkenin (genellikle y veya f(x)) alabileceği değerlerdir. Yani, fonksiyonun "üretebileceği yemekler"dir.

Görüntü kümesini bulmak için, x yerine tanım kümesindeki tüm değerler yazılır ve çıkan y değerlerinin kümesi bulunur.

• Örneğin; \( f(x) = x^2 \) fonksiyonunun tanım kümesi tüm gerçek sayılar (R) olsun. Bir sayının karesi hiçbir zaman negatif olamayacağı için, bu fonksiyonun görüntü kümesi [0, ∞)'dur.
• \( h(x) = 2x + 1 \) fonksiyonunun tanım kümesi R ise, x yerine yazılabilecek her sayı için 2x+1 ifadesi de tüm gerçek sayıları tarar. Bu nedenle görüntü kümesi de R'dir.

Örnek Soru ve Çözüm

Soru: \( f(x) = \sqrt{4 - x} \) fonksiyonunun tanım ve görüntü kümelerini bulunuz.

Çözüm:

• Tanım Kümesi: Kökün içi negatif olamaz: \( 4 - x \geq 0 \rightarrow x \leq 4 \).
  Tanım Kümesi = (-∞, 4]
• Görüntü Kümesi: x yerine 4 yazarsak \( f(4) = \sqrt

Answer 2

10. Sınıf Fonksiyonun Tanım ve Görüntü Kümesi Çözümlü Test Soruları

Soru 1: Gerçek sayılarda tanımlı bir f fonksiyonu, f(x) = √(x - 2) + 3 şeklinde verilmiştir. Buna göre bu fonksiyonun tanım kümesi ve görüntü kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
a) Tanım: R, Görüntü: R
b) Tanım: [2, ∞), Görüntü: [3, ∞)
c) Tanım: (2, ∞), Görüntü: (3, ∞)
d) Tanım: (-∞, 2], Görüntü: (-∞, 3]
e) Tanım: [0, ∞), Görüntü: [0, ∞)
Cevap: b) Tanım: [2, ∞), Görüntü: [3, ∞)
Çözüm: Karekök içindeki ifade negatif olamaz: x - 2 ≥ 0 → x ≥ 2. Tanım kümesi [2, ∞)'dur. √(x-2) ifadesi en az 0 değerini alır, bu nedenle f(x) en az 0 + 3 = 3 değerini alır. Görüntü kümesi [3, ∞)'dur.

Soru 2: f: A → R, f(x) = 1/(x² - 4) fonksiyonu veriliyor. Bu fonksiyonun en geniş tanım kümesi A aşağıdakilerden hangisidir?
a) R
b) R - {2}
c) R - {-2}
d) R - {-2, 2}
e) R - {-4, 4}
Cevap: d) R - {-2, 2}
Çözüm: Bir kesirli ifadenin paydası 0 olamaz. x² - 4 = 0 denklemini çözersek: x² = 4 → x = 2 ve x = -2. Bu değerler tanım kümesinden çıkarılmalıdır. Bu nedenle en geniş tanım kümesi R - {-2, 2}'dir.

Soru 3: f: [-3, 5] → R olarak tanımlı f(x) = x² - 2x + 1 fonksiyonu veriliyor. Buna göre bu fonksiyonun görüntü kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
a) [0, 16]
b) [1, 16]
c) [0, 25]
d) [1, 25]
e) [0, 36]
Cevap: a) [0, 16]
Çözüm: Öncelikle fonksiyonu tam kareye tamamlayalım: f(x) = (x - 1)². Parabolün tepe noktası x=1 noktasındadır ve bu nokta tanım aralığımızın [-3, 5] içindedir. f(1) = (1-1)² = 0 (minimum). Sınır noktalarını kontrol edelim: f(-3) = (-3-1)² = 16, f(5) = (5-1)² = 16 (maksimum). Bu nedenle görüntü kümesi [0, 16] olur.

Soru 4: Tanım kümesi A = {1, 2, 3, 4} olan bir f fonksiyonu, f(x) = 2x + 1 kuralı ile veriliyor. Buna göre bu fonksiyonun görüntü kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
a) {1, 2, 3, 4}
b) {3, 5, 7, 9}
c) {2, 4, 6, 8}
d) {1, 3, 5, 7}
e) {3, 4, 5, 6}
Cevap: b) {3, 5, 7, 9}
Çözüm: Tanım kümesindeki her elemanı fonksiyon kuralında yerine koyalım: f(1)=2(1)+1=3, f(2)=2(2)+1=5, f(3)=2(3)+1=7, f(4)=2(4)+1=9. Görüntü