Pascal Üçgeni, kombinasyon problemlerini çözmek ve binom açılımını anlamak için çok kullanışlı bir araçtır. Bu üçgen, her satırı bir binom açılımının katsayılarını verir ve bu katsayılar kombinasyon ile doğrudan ilişkilidir.
Pascal Üçgeni, kenarları "1"lerden oluşan ve üstteki iki sayının toplamı altına yazılmasıyla oluşturulan bir sayı dizisidir.
İlk birkaç satırı şu şekildedir:
Kombinasyon, bir kümenin elemanlarından sıra önemli olmadan yapılan seçimlerdir. \( n \) elemanlı bir kümeden \( r \) eleman seçme sayısı \( C(n, r) \) veya \( \binom{n}{r} \) şeklinde gösterilir ve aşağıdaki formülle hesaplanır:
\( C(n, r) = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!} \)
Pascal Üçgeni'ndeki her sayı aslında bir kombinasyon değerine eşittir. Üçgenin satır numarası \( n \)'yi, soldan sağa doğru (0'dan başlayarak) sütun numarası ise \( r \)'yi temsil eder.
Yani, \( n \). satırdaki \( r \). eleman (ilk eleman 0. sütundur) bize \( C(n, r) \) kombinasyonunun sonucunu verir.
Örnek: Pascal Üçgeni'nin 4. satırına bakalım: 1 - 4 - 6 - 4 - 1
Bu durum, üçgenin tüm elemanları için geçerlidir. Pascal Üçgeni'nin oluşum kuralı olan "üstteki iki sayının toplamı" kuralı, kombinasyonun temel özdeşliği ile aynıdır:
\( C(n, r) = C(n-1, r-1) + C(n-1, r) \)
Soru 1: Pascal üçgeninin 6. satırı aşağıdaki gibidir: 1, 5, 10, 10, 5, 1. Bu satırdaki 3. elemanın kombinasyon cinsinden ifadesi aşağıdakilerden hangisidir?
a) \( \binom{5}{2} \) b) \( \binom{6}{3} \) c) \( \binom{5}{3} \) d) \( \binom{6}{2} \) e) \( \binom{4}{2} \)
Cevap: a) \( \binom{5}{2} \)
Çözüm: Pascal üçgeninin n. satırındaki r. eleman \( \binom{n}{r} \) şeklinde ifade edilir. 6. satır n=5'e karşılık gelir (çünkü ilk satır n=0'dır). 3. eleman ise r=2'dir (ilk eleman r=0'dır). Bu nedenle cevap \( \binom{5}{2} \) olur.
Soru 2: Bir matematik öğretmeni tahtaya Pascal üçgeninin 7. satırını yazmıştır. Bu satırdaki ardışık iki eleman olan 15 ve 20'nin toplamı, bir sonraki satırda hangi kombinasyona eşittir?
a) \( \binom{7}{3} \) b) \( \binom{8}{4} \) c) \( \binom{7}{4} \) d) \( \binom{8}{3} \) e) \( \binom{6}{4} \)
Cevap: a) \( \binom{7}{3} \)
Çözüm: Pascal üçgeninin temel kuralına göre, bir satırdaki ardışık iki elemanın toplamı, bir alt satırda bu iki elemanın arasına gelen elemana eşittir. 15 (\( \binom{6}{2} \)) ve 20 (\( \binom{6}{3} \))'nin toplamı, 7. satırda (n=6) \( \binom{6}{2} + \binom{6}{3} = \binom{7}{3} \) olur.
Soru 3: \( \binom{9}{4} + \binom{9}{5} \) işleminin sonucu, Pascal üçgeninde hangi satırın hangi elemanına karşılık gelir?
a) 10. satır, 5. eleman b) 10. satır, 4. eleman c) 11. satır, 5. eleman d) 9. satır, 6. eleman e) 10. satır, 6. eleman
Cevap: a) 10. satır, 5. eleman
Çözüm: Pascal üçgenindeki \( \binom{n}{r} + \binom{n}{r+1} = \binom{n+1}{r+1} \) kuralı uygulanır. \( \binom{9}{4} + \binom{9}{5} = \binom{10}{5} \) olur. Bu da Pascal üçgeninin 11. satırında (n=10) ve 6. elemanında (r=5) bulunur. Ancak satır numarası genellikle 1'den başlatıldığı için bu 10. satır olarak ifade edilir.
Soru 4: Pascal üçgeninin bir satırındaki elemanların toplamı 64'tür. Bu satırda \( \binom{n}{2} = 15 \) eşitliğini sağlayan n değeri için, \( \binom{n}{3} \) değeri aşağıdakilerden hangisidir?
a) 10 b) 20 c) 35 d) 15 e) 25
Cevap: b) 20
Çözüm: Bir satırdaki elemanların toplamı \( 2^n = 64 \) ise n=6'dır. \( \binom{n}{2} = \binom{6}{2} = 15 \) olduğu verilmiştir. Aynı satırda (n=6) \( \binom{6}{3} \) değeri hesaplanırs
