Bir üçgende bir köşeyi karşı kenarın orta noktasına birleştiren doğru parçasına kenarortay denir.
Bir üçgenin üç kenarortayı bir noktada kesişir. Bu noktaya üçgenin ağırlık merkezi denir ve genellikle \( G \) harfi ile gösterilir.
Ağırlık merkezi, her kenarortayı tepeden itibaren saymak üzere 2:1 oranında böler. Yani, köşeden ağırlık merkezine olan uzaklık, ağırlık merkezinden kenara olan uzaklığın iki katıdır.
Burada D, E, F noktaları ilgili kenarların orta noktalarıdır.
Kenar uzunlukları \( a \), \( b \), \( c \) olan bir ABC üçgeninde, \( A \) köşesinden çizilen kenarortayın uzunluğu (\( V_a \)) aşağıdaki formülle bulunur:
\( V_a = \frac{1}{2}\sqrt{2b^2 + 2c^2 - a^2} \)
Benzer şekilde diğer kenarortay uzunlukları da ilgili kenarların uzunlukları kullanılarak hesaplanabilir.
Ağırlık merkezi, üçgenin fiziksel anlamda dengede durduğu noktadır. Üçgen şeklindeki bir levhayı iğneyle bu noktadan delerseniz, levha dengede kalır.
Kenarortay uzunluğu sorularında, formülü doğru uygulamak için hangi kenarın karşısındaki köşeden çizilen kenarortayın sorulduğuna dikkat etmek gerekir. Ağırlık merkezi sorularında ise kenarortayların 2:1 oranında bölündüğü özelliği sıklıkla kullanılır.
Soru 1: Bir ABC üçgeninin ağırlık merkezi G noktasıdır. |AG| = 12 cm olduğuna göre, A köşesinden çizilen kenarortayın uzunluğu kaç cm'dir?
a) 12 b) 16 c) 18 d) 24 e) 36
Cevap: c) 18
Çözüm: Bir üçgende ağırlık merkezi, kenarortayları 2:1 oranında böler. Köşeye daha yakın olan parçanın uzunluğu, kenarortayın \( \frac{2}{3} \)'üdür. Buna göre; \( |AG| = \frac{2}{3}.|Kenarortay| \) → \( 12 = \frac{2}{3}.x \) → \( x = 18 \) cm bulunur.
Soru 2: Köşe koordinatları A(2, 5), B(8, -1) ve C(-4, 3) olan üçgenin ağırlık merkezinin koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?
a) (2, 7/3) b) (3, 2) c) (2, 3) d) (3, 7/3) e) (7/3, 2)
Cevap: a) (2, 7/3)
Çözüm: Ağırlık merkezinin koordinatları, köşe koordinatlarının aritmetik ortalamasıdır.
\( G_x = \frac{2 + 8 + (-4)}{3} = \frac{6}{3} = 2 \)
\( G_y = \frac{5 + (-1) + 3}{3} = \frac{7}{3} \)
Buna göre ağırlık merkezi \( G(2, \frac{7}{3}) \) noktasıdır.
Soru 3: Ağırlık merkezi G olan bir ABC üçgeninde [BC] kenarının orta noktası D'dir. |GD| = 4 cm olduğuna göre, A köşesinden çizilen kenarortayın uzunluğu kaç cm'dir?
a) 8 b) 10 c) 12 d) 16 e) 24
Cevap: c) 12
Çözüm: Ağırlık merkezi, kenarortayı köşeden 2 birim, kenardan 1 birim olacak şekilde 2:1 oranında böler. |GD|, kenarortayın kenara yakın \( \frac{1}{3} \)'lük kısmıdır. Buna göre; \( |GD| = \frac{1}{3}.|Kenarortay| \) → \( 4 = \frac{1}{3}.x \) → \( x = 12 \) cm bulunur.
