9. Sınıf Dönme Dönüşümü Nedir?

Question

Dönme dönüşümünü anlamakta zorlanıyorum. Bir şeklin bir nokta etrafında saat yönünde veya saat yönünün tersine döndürülmesi olduğunu biliyorum ama koordinat düzleminde nasıl uygulandığını tam olarak kavrayamadım. Özellikle döndürme sonrası noktaların yeni koordinatlarını bulmak beni zorluyor.

Answer 1

Dönme Dönüşümü Nedir?

Dönme dönüşümü, bir şeklin bir nokta etrafında (genellikle orijin) belirli bir açı kadar ve belirli bir yönde (saat yönünde veya saat yönünün tersine) döndürülmesidir. Bu dönüşüm sırasında şeklin boyutu ve biçimi değişmez, sadece yönü ve konumu değişir.

Dönme Dönüşümünün Elemanları

• Dönme Merkezi: Şeklin etrafında döndüğü sabit noktadır.
• Dönme Açısı: Şeklin ne kadar döndürüleceğini belirler (90°, 180° gibi).
• Dönme Yönü: Saat yönünde (-) veya saat yönünün tersinde (+) olabilir.

Dönme Dönüşümü Kuralları

Bir noktanın orijin etrafında döndürülmesinin genel kuralı:

Bir \( A(x, y) \) noktası orijin etrafında \( \alpha \) açısı kadar döndürüldüğünde, yeni noktanın koordinatları \( A'(x', y') \) aşağıdaki formüllerle bulunur:

• \( x' = x \cdot \cos(\alpha) - y \cdot \sin(\alpha) \)
• \( y' = x \cdot \sin(\alpha) + y \cdot \cos(\alpha) \)

Ancak 9. sınıf seviyesinde genellikle 90°, 180° ve 270° gibi özel açılar kullanılır. Bu açılar için trigonometrik değerler (sin, cos) basitleşir ve formüller çok daha kolay hale gelir.

Özel Açılarla Dönme Kuralları

1. Orijin Etrafında 90° Saat Yönünün Tersine Dönme

• \( A(x, y) \rightarrow A'(-y, x) \)

2. Orijin Etrafında 90° Saat Yönünde Dönme

• \( A(x, y) \rightarrow A'(y, -x) \)

3. Orijin Etrafında 180° Dönme

• \( A(x, y) \rightarrow A'(-x, -y) \)

4. Orijin Etrafında 270° Saat Yönünün Tersine Dönme

• \( A(x, y) \rightarrow A'(y, -x) \) (90° saat yönünde dönmeye eşdeğerdir)

Örnek:

\( A(3, 2) \) noktasını orijin etrafında 90° saat yönünün tersine döndürelim.

Kuralımız: \( A(x, y) \rightarrow A'(-y, x) \)

O halde: \( A(3, 2) \rightarrow A'(-2, 3) \) olur.

Sonuç: Dönme dönüşümü, bir şeklin büyüklüğünü ve şeklini bozmadan sadece konumunu ve yönünü değiştiren bir harekettir. Koordinat sisteminde bu dönüşümü yapmak için belirli kuralları uygularız.