Merhaba! Bu çalışma kağıdında, kümelerde birleşim ve kesişim kavramlarını öğreneceğiz. Bu konuyu anlamak için dikkatle okuyalım ve alıştırmaları yapalım.
Küme, benzer özelliklere sahip nesnelerin oluşturduğu topluluktur. Küme içindeki her bir nesneye eleman denir.
Örnek: A = {1, 2, 3, 4} bir kümedir.
İki kümenin kesişim kümesi, bu iki kümede ortak olan elemanların oluşturduğu yeni kümedir.
Kesişim işareti: \( \cap \)
"A kesişim B" kümesi \( A \cap B \) şeklinde yazılır.
Örnek:
Bu iki kümede ortak olan meyve "Muz"dur.
O halde, \( A \cap B \) = {Muz}
İki kümenin birleşim kümesi, bu iki kümedeki tüm elemanların (ortak olanlar bir kez yazılarak) oluşturduğu yeni kümedir.
Birleşim işareti: \( \cup \)
"A birleşim B" kümesi \( A \cup B \) şeklinde yazılır.
Örnek:
İki kümedeki tüm meyveler: Elma, Armut, Muz, Çilek, Kiraz
O halde, \( A \cup B \) = {Elma, Armut, Muz, Çilek, Kiraz}
Not: Muz her iki kümede de var ama birleşim kümesinde sadece bir kez yazılır.
a) C = {1, 3, 5, 7} ve D = {2, 3, 5, 8}
b) E = {a, b, c, d} ve F = {c, d, e, f}
c) G = {Kırmızı, Mavi, Sarı} ve H = {Yeşil, Mavi, Turuncu}
Sınıfımızdaki öğrencilerden 15'i futbol, 12'si basketbol oynamaktadır. 7 öğrenci hem futbol hem de basketbol oynadığına göre:
İpucu: Birleşim kümesinin eleman sayısını bulmak için formülü hatırlayalım:
\( s(A \cup B) = s(A) + s(B) - s(A \cap B) \)
Soru 1: Bir sınıftaki öğrencilerden 18'i futbol, 15'i basketbol oynamaktadır. 7 öğrenci hem futbol hem de basketbol oynadığına göre, bu sınıfta en az bir spor dalıyla ilgilenen kaç öğrenci vardır?
a) 22 b) 25 c) 26 d) 33
Cevap: c) 26
Çözüm: Futbol oynayanlar (F) = 18, Basketbol oynayanlar (B) = 15, Her ikisini de oynayanlar (F ∩ B) = 7. En az birini oynayanların sayısı: s(F ∪ B) = s(F) + s(B) - s(F ∩ B) = 18 + 15 - 7 = 26
Soru 2: Bir okulda İngilizce kursuna katılan 24, Almanca kursuna katılan 20 öğrenci vardır. Her iki kursa da katılan öğrenci olmadığına göre, kurslara toplam kaç farklı öğrenci katılmıştır?
a) 4 b) 20 c) 24 d) 44
Cevap: d) 44
Çözüm: İngilizce (İ) = 24, Almanca (A) = 20, İ ∩ A = 0 (kesişim boş). Bu durumda birleşim kümesinin eleman sayısı: s(İ ∪ A) = s(İ) + s(A) = 24 + 20 = 44
Soru 3: A = {1, 3, 5, 7, 9} ve B = {2, 3, 5, 7} kümeleri veriliyor. Buna göre A ∪ B (A birleşim B) kümesinin eleman sayısı kaçtır?
a) 4 b) 5 c) 6 d) 7
Cevap: c) 6
Çözüm: A ∪ B = {1, 2, 3, 5, 7, 9} kümesidir. Bu kümedeki elemanlar: 1, 2, 3, 5, 7, 9 olmak üzere 6 tanedir.
1. İki kümenin ortak elemanlarından oluşan kümeye ________ kümesi denir.
2. A ve B kümelerinin tüm elemanlarını içeren kümeye ________ kümesi denir.
3. Birleşim işleminin sembolü ________ şeklindedir.
4. Kesişim işleminin sembolü ________ şeklindedir.
5. Ortak elemanı olmayan kümelere ________ kümeler denir.
1. ( ) A ve B kümelerinin birleşimi A ∪ B şeklinde gösterilir.
2. ( ) A ve B kümelerinin kesişimi A ∩ B şeklinde gösterilir.
3. ( ) A = {1, 2, 3} ve B = {3, 4, 5} kümeleri için A ∩ B = {1, 2, 3, 4, 5} olur.
4. ( ) A = {a, b, c} ve B = {d, e, f} kümeleri için A ∩ B = ∅ olur.
5. ( ) A = {2, 4, 6} ve B = {1, 3, 5} kümelerinin birleşimi boş kümedir.
Aşağıdaki ifadeleri uygun sembollerle eşleştiriniz:
1. A = {1, 3, 5, 7} ve B = {2, 3, 5, 8} kümeleri veriliyor. A ∩ B kümesini yazınız.
2. A = {a, b, c} ve B = {c, d, e} kümeleri veriliyor. A ∪ B kümesini yazınız.
3. K = {pazartesi, salı, çarşamba} ve L = {çarşamba, perşembe, cuma} kümeleri veriliyor. K ∩ L kümesini yazınız.
4. M = {2, 4, 6, 8} ve N = {1, 3, 5, 7} kümeleri veriliyor. M ∪ N kümesini yazınız.
5. P = {kırmızı, mavi, sarı} ve R = {mavi, yeşil, turuncu} kümeleri veriliyor. P ∩ R kümesini yazınız.
1. A = {1, 2, 3} ve B = {3, 4, 5} kümeleri için A ∪ B kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) {1, 2, 3} B) {3, 4, 5} C) {1, 2, 3, 4, 5} D) {3}
2. X = {a, e, i} ve Y = {o, u} kümeleri için X ∩ Y kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) {a, e, i, o, u} B) {a, e} C) {i, o} D) ∅
3. Aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?
A) Birleşim kümesi her zaman kesişim kümesinden büyüktür
B) Kesişim kümesi her zaman birleşim kümesinden büyüktür
C) Birleşim ve kesişim kümeleri aynı büyüklükte olabilir
D) Kesişim kümesi hiçbir zaman boş küme olamaz
4. A = {p, r, s} ve B = {r, s, t} kümeleri için A ∩ B kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) {p, r, s, t} B) {p, t} C) {r, s} D) {p, r}
5. İki kümenin kesişim kümesi boş küme ise bu kümeler için aşağıdakilerden hangisi söylenebilir?
A) Aynı elemanlara sahiptirler
B) Hiçbir ortak elemanları yoktur
C) Birinin tüm elemanları diğerinde de vardır
D) Eleman sayıları eşittir
Cevaplar:
A: 1) kesişim, 2) birleşim, 3) ∪, 4) ∩, 5) ayrık
B: 1) D, 2) D, 3) Y, 4) D, 5) Y
C: 1-B, 2-A, 3-D, 4-C, 5-E
D: 1) {3, 5}, 2) {a, b, c, d, e}, 3) {çarşamba}, 4) {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, 5) {mavi}
E: 1-C, 2-D, 3-C, 4-C, 5-B
