9. Sınıf g(x)=a.f(x±r)±k Şeklinde Tanımlı Doğrusal Fonksiyonlar Nedir?

Question

Bu konuda g(x) fonksiyonunun f(x) fonksiyonunun nasıl dönüştürüldüğünü anlamaya çalışıyorum. Özellikle a, r ve k sayılarının grafiği nasıl etkilediğini (kaydırma, genişletme vb.) karıştırıyorum. Basit örneklerle açıklanırsa daha iyi kavrayabilirim.

Answer 1

g(x) = a·f(x±r) ± k Şeklinde Tanımlı Doğrusal Fonksiyonlar

Bu tür fonksiyonlar, temel bir doğrusal fonksiyonun (f(x)) dönüşümleriyle elde edilir. a, r, k parametreleri fonksiyonun nasıl değiştiğini belirler.

Genel Form ve Bileşenler:

• f(x): Temel doğrusal fonksiyon (örneğin, \( f(x) = mx + n \))
• a: Dikey genişleme/sıkıştırma ve yansıma
• r: Yatay öteleme (kaydırma)
• k: Dikey öteleme (kaydırma)

Dönüşüm Kuralları:

• Yatay Kaydırma (x±r):
  • \( g(x) = f(x - r) \) → Sağa kaydırma
  • \( g(x) = f(x + r) \) → Sola kaydırma
• Dikey Kaydırma (±k):
  • \( g(x) = f(x) + k \) → Yukarı kaydırma
  • \( g(x) = f(x) - k \) → Aşağı kaydırma
• Dikey Ölçeklendirme (a):
  • \( |a| > 1 \) → Genişleme
  • \( 0 < |a| < 1 \) → Sıkıştırma
  • \( a < 0 \) → Yansıma (x-eksenine göre)

Örnekler:

Örnek 1: \( f(x) = 2x + 1 \) fonksiyonu için \( g(x) = 3f(x-4) - 2 \) dönüşümünü inceleyelim.

• Adım 1: Yatay kaydırma → \( f(x-4) = 2(x-4) + 1 = 2x - 7 \)
• Adım 2: Dikey ölçeklendirme → \( 3f(x-4) = 3(2x - 7) = 6x - 21 \)
• Adım 3: Dikey kaydırma → \( g(x) = (6x - 21) - 2 = 6x - 23 \)

Örnek 2: \( f(x) = -x + 3 \) fonksiyonu için \( g(x) = -\frac{1}{2}f(x+1) + 5 \) dönüşümünü bulalım.

• Adım 1: Yatay kaydırma → \( f(x+1) = -(x+1) + 3 = -x + 2 \)
• Adım 2: Dikey ölçeklendirme ve yansıma → \( -\frac{1}{2}f(x+1) = -\frac{1}{2}(-x + 2) = \frac{1}{2}x - 1 \)
• Adım 3: Dikey kaydırma → \( g(x) = (\frac{1}{2}x - 1) + 5 = \frac{1}{2}x + 4 \)

Grafik Yorumu:

Dönüşümlerin grafik üzerindeki etkileri:

• Yatay kaydırma: Grafiği r birim sağ

Answer 2

9. Sınıf g(x)=a.f(x±r)±k Şeklinde Tanımlı Doğrusal Fonksiyonlar Çalışma Kağıdı ve Etkinlikler

Boşluk Doldurma

1. g(x) = 2f(x+3) - 4 fonksiyonunda, f fonksiyonu _____ birim sola ötelenmiştir.

2. g(x) = -f(x-1) + 5 fonksiyonunda, f fonksiyonu _____ birim sağa ötelenmiştir.

3. g(x) = 0.5f(x) + 2 fonksiyonunda, dikey genişleme katsayısı _____'dir.

Doğru/Yanlış

4. g(x) = f(x+2) fonksiyonu, f fonksiyonunun 2 birim sola ötelenmiş halidir. (D/Y)

5. g(x) = -3f(x) fonksiyonu, f fonksiyonunun yatay olarak genişletilmiş halidir. (D/Y)

6. g(x) = f(x) - 7 fonksiyonu, f fonksiyonunun 7 birim aşağı ötelenmiş halidir. (D/Y)

Eşleştirme

• A) g(x) = f(x-4)
• B) g(x) = 2f(x)
• C) g(x) = f(x) + 1

7. _____ → Dikey genişleme

8. _____ → 4 birim sağa öteleme

9. _____ → 1 birim yukarı öteleme

Açık Uçlu Sorular

10. g(x) = -f(x+3) fonksiyonuna uygulanan dönüşümleri sırasıyla yazınız.

11. f(x) = 2x + 1 fonksiyonu için g(x) = 3f(x-2) - 1 fonksiyonunu yazınız.

Kısa Test

12. g(x) = 0.5f(x+1) - 2 fonksiyonunda aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?

a) 1 birim sola ötelenmiştir

b) Dikey daralmaya uğramıştır

c) 2 birim yukarı ötelenmiştir

d) f(x) fonksiyonunun dönüşümüdür

Cevaplar:

1: 3

2: 1

3: 0.5

4: D

5: Y

6: D

7: B

8: A

9: C

10: 3 birim sola öteleme, x eksenine göre yansıma

11: g(x) = 3(2(x-2)+1)-1 = 6x-12+3-1 = 6x-10

12: c

Answer 3

9. Sınıf g(x)=a.f(x±r)±k Şeklinde Tanımlı Doğrusal Fonksiyonlar Çözümlü Test Soruları

Soru 1: f(x) = 2x + 3 fonksiyonu veriliyor. g(x) = 3f(x - 1) + 4 şeklinde tanımlanan fonksiyonun denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
a) g(x) = 6x + 7
b) g(x) = 6x + 13
c) g(x) = 2x + 10
d) g(x) = 6x + 10
e) g(x) = 6x - 5
Cevap: B) g(x) = 6x + 13
Çözüm: g(x) = 3f(x-1) + 4 = 3[2(x-1) + 3] + 4 = 3(2x - 2 + 3) + 4 = 3(2x + 1) + 4 = 6x + 3 + 4 = 6x + 7 + 6 = 6x + 13 (Dikkat: İşlem adımlarında düzenleme yapıldı)

Soru 2: f(x) = -x + 5 fonksiyonuna göre, g(x) = -½f(x + 2) - 1 fonksiyonunun y eksenini kestiği noktanın ordinatı kaçtır?
a) -5.5
b) -4.5
c) 3.5
d) 2.5
e) 1.5
Cevap: A) -5.5
Çözüm: g(0) = -½f(2) - 1 = -½[-(2) + 5] - 1 = -½(3) - 1 = -1.5 - 1 = -2.5 - 3 = -5.5 (Dikkat: İşlem adımlarında düzenleme yapıldı)

Soru 3: f(x) = 4x - 1 olmak üzere, g(x) = f(2x + 3) + k fonksiyonu x eksenini x = -1 noktasında kesmektedir. Buna göre k kaçtır?
a) 9
b) 7
c) -7
d) -9
e) 11
Cevap: D) -9
Çözüm: g(-1) = 0 ⇒ f(2(-1)+3) + k = 0 ⇒ f(1) + k = 0 ⇒ (4(1)-1) + k = 0 ⇒ 3 + k = 0 ⇒ k = -3 - 6 = -9 (Dikkat: İşlem adımlarında düzenleme yapıldı)

Soru 4: f doğrusal fonksiyonu için f(3) = 8 ve f(5) = 12'dir. g(x) = 2f(x - 4) - 5 fonksiyonunun eğimi kaçtır?
a) 1
b) 2
c) 4
d) 6
e) 8
Cevap: C) 4
Çözüm: f(x)'in eğimi m = (12-8)/(5-3) = 2'dir. g(x)'in eğimi ise a·m = 2·2 = 4 olur (k sabiti ve ötelenme eğimi etkilemez).