9. Sınıf köklü gösterimin eşleniğini bulma nedir?

Question

Köklü ifadelerin eşleniğini bulurken paydayı rasyonel yapmaya çalışıyoruz ama tam olarak nasıl yapacağımı karıştırıyorum. Mesela √2'nin eşleniği yine √2 mi oluyor, yoksa -√2 mi? Bu konuyu basitçe anlatabilecek var mı?

Answer 1

Köklü Gösterimin Eşleniğini Bulma

Matematikte, köklü ifadelerin eşleniği, paydada köklü ifade bulunan kesirleri sadeleştirmek için kullanılan bir yöntemdir. Eşlenik, köklü ifadenin işaretini değiştirerek elde edilir.

Eşlenik Nedir?

Bir köklü ifadenin eşleniği, aynı ifadenin işaretinin tersiyle yazılmış halidir. Örneğin:

• \( \sqrt{a} + b \) ifadesinin eşleniği \( \sqrt{a} - b \)'dir.
• \( \sqrt{3} + 2 \) ifadesinin eşleniği \( \sqrt{3} - 2 \)'dir.

Eşlenik Kullanımının Amacı

Paydada köklü ifade varsa, bu ifadeyi rasyonel hale getirmek için eşlenik ile çarpma işlemi yapılır. Bu sayede paydadaki kök ifadesi kaldırılır.

Örneklerle Açıklama

Örnek 1: \( \frac{1}{\sqrt{5}} \) ifadesini paydadan kurtaralım.

• Pay ve paydayı \( \sqrt{5} \) ile çarparız: \( \frac{1 \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} \).
• Sonuç: \( \frac{\sqrt{5}}{5} \).

Örnek 2: \( \frac{3}{2 + \sqrt{7}} \) ifadesini paydadan kurtaralım.

• Pay ve paydayı eşlenik olan \( 2 - \sqrt{7} \) ile çarparız.
• İşlem: \( \frac{3 \cdot (2 - \sqrt{7})}{(2 + \sqrt{7})(2 - \sqrt{7})} \).
• Payda kısmı: \( (2)^2 - (\sqrt{7})^2 = 4 - 7 = -3 \).
• Sonuç: \( \frac{6 - 3\sqrt{7}}{-3} = -2 + \sqrt{7} \).

Önemli Kurallar

• Eşlenik, sadece iki terimli ifadelerde kullanılır.
• \( (a + b)(a - b) = a^2 - b^2 \) özdeşliği eşlenik çarpımında kullanılır.
• Paydadaki köklü ifade tek terimliyse, direkt kök ile çarpma yapılabilir.

Answer 2

9. Sınıf Köklü Gösterimin Eşleniğini Bulma Çalışma Kağıdı ve Etkinlikler

Boşluk Doldurma

1. \( \sqrt{5} \) ifadesinin eşleniği ______'dir.

2. \( 3 + \sqrt{2} \) sayısının eşleniği ______'dir.

3. \( \sqrt{a} + \sqrt{b} \) ifadesinin eşleniği ______'dir.

Eşleştirme

• A) \( 2 - \sqrt{3} \)
• B) \( \sqrt{7} \)
• C) \( 5 + \sqrt{2} \)

1. \( 2 + \sqrt{3} \) → ( )

2. \( 5 - \sqrt{2} \) → ( )

3. \( -\sqrt{7} \) → ( )

Doğru/Yanlış

1. \( \sqrt{8} \)'in eşleniği \( -\sqrt{8} \)'dir. (D/Y)

2. \( 4 - \sqrt{3} \)'ün eşleniği \( 4 + \sqrt{3} \)'tür. (D/Y)

3. \( \sqrt{x} \)'in eşleniği her zaman \( -\sqrt{x} \)'dir. (D/Y)

Açık Uçlu Sorular

1. \( \frac{1}{1 + \sqrt{2}} \) ifadesini paydayı rasyonel yaparak yazınız.

2. \( \sqrt{12} - \sqrt{3} \) işleminin sonucunu bulunuz.

Kısa Test

1. Aşağıdakilerden hangisi \( 7 + \sqrt{5} \)'in eşleniğidir?

a) \( 7 - \sqrt{5} \) b) \( -7 + \sqrt{5} \) c) \( \sqrt{5} - 7 \)

2. \( \sqrt{50} \)'nin eşleniği aşağıdakilerden hangisidir?

a) \( \sqrt{50} \) b) \( -\sqrt{50} \) c) \( 5\sqrt{2} \)

Cevaplar:

1: \( \sqrt{5} \), 2: \( 3 - \sqrt{2} \), 3: \( \sqrt{a} - \sqrt{b} \)

1: A, 2: C, 3: B

1: Y, 2: D, 3: Y

1: \( \sqrt{2} - 1 \), 2: \( \sqrt{3} \)

1: a, 2: b

Answer 3

9. Sınıf Köklü Gösterimin Eşleniğini Bulma Çözümlü Test Soruları

Soru 1: \( \sqrt{5} + 2 \) ifadesinin eşleniği aşağıdakilerden hangisidir?
a) \( \sqrt{5} - 2 \)
b) \( -\sqrt{5} + 2 \)
c) \( \sqrt{5} + 2 \)
d) \( 2 - \sqrt{5} \)
e) \( \sqrt{5} \cdot 2 \)
Cevap: a) \( \sqrt{5} - 2 \)
Çözüm: Köklü ifadenin eşleniği, ikinci terimin işaretinin değiştirilmesiyle bulunur.

Soru 2: \( 3\sqrt{7} - \sqrt{3} \) ifadesi ile çarpıldığında sonucu rasyonel yapan eşlenik ifade hangisidir?
a) \( 3\sqrt{7} + \sqrt{3} \)
b) \( -3\sqrt{7} - \sqrt{3} \)
c) \( \sqrt{3} - 3\sqrt{7} \)
d) \( 3\sqrt{7} \cdot \sqrt{3} \)
e) \( 7\sqrt{3} - 3 \)
Cevap: a) \( 3\sqrt{7} + \sqrt{3} \)
Çözüm: İki terimli köklü ifadelerde eşlenik, her iki terimin işaretinin tersi alınarak bulunur.

Soru 3: \( \frac{1}{\sqrt{2} - 1} \) ifadesinin paydasını rasyonel yapmak için hangi eşlenik ile çarpılmalıdır?
a) \( \sqrt{2} + 1 \)
b) \( \sqrt{2} - 1 \)
c) \( -\sqrt{2} - 1 \)
d) \( 1 - \sqrt{2} \)
e) \( \sqrt{2} \cdot 1 \)
Cevap: a) \( \sqrt{2} + 1 \)
Çözüm: Paydayı rasyonel yapmak için paydanın eşleniği (\( \sqrt{2} + 1 \)) ile çarpılır.

Soru 4: \( x = \sqrt{6} + \sqrt{2} \) olduğuna göre, \( x \cdot y \) çarpımının rasyonel olmasını sağlayan \( y \) eşleniği nedir?
a) \( \sqrt{6} - \sqrt{2} \)
b) \( -\sqrt{6} + \sqrt{2} \)
c) \( \sqrt{6} + \sqrt{2} \)
d) \( \sqrt{6} \cdot \sqrt{2} \)
e) \( \sqrt{12} \)
Cevap: a) \( \sqrt{6} - \sqrt{2} \)
Çözüm: \( (\sqrt{6} + \sqrt{2})(\sqrt{6} - \sqrt{2}) = 6 - 2 = 4 \) şeklinde rasyonel sonuç verir.