9. Sınıf Üçgende Açı ve Kenarlarla İlgili Özellikler Nedir?

Question

Üçgenlerde açılar ve kenarlar arasında bazı temel bağlantılar var ama tam olarak nasıl çalıştığını karıştırıyorum. Mesela büyük açının karşısında büyük kenar oluyor diyorlar ama ispatını anlamadım. Ayrıca üçgenin iç açıları toplamının 180 derece olduğunu biliyorum ama bunun kenar uzunluklarıyla ilişkisini kurmakta zorlanıyorum.

Answer 1

Üçgende Açı ve Kenarlarla İlgili Temel Özellikler

Üçgenler, geometrinin temel şekillerinden biridir. Üçgenlerde açılar ve kenarlar arasında önemli ilişkiler bulunur. Bu konuda temel özellikleri öğrenerek üçgen problemlerini çözebilirsiniz.

1. Üçgende Açı Özellikleri

• İç Açılar Toplamı: Bir üçgenin iç açılarının toplamı her zaman 180°'dir. \( \alpha + \beta + \gamma = 180° \)
• Dış Açı Özelliği: Bir üçgenin bir dış açısı, kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir. \( \delta = \alpha + \beta \)
• Dar, Dik ve Geniş Açılı Üçgenler:
  • Tüm açıları 90°'den küçükse dar açılı üçgen.
  • Bir açısı 90° ise dik üçgen.
  • Bir açısı 90°'den büyükse geniş açılı üçgen.

2. Üçgende Kenar Özellikleri

• Üçgen Eşitsizliği: Bir üçgenin herhangi bir kenarının uzunluğu, diğer iki kenarın uzunlukları toplamından küçük, farkının mutlak değerinden büyüktür. \( |a - b| < c < a + b \)
• Kenar-Açı İlişkisi: Bir üçgende daha büyük açının karşısında daha uzun kenar, daha küçük açının karşısında daha kısa kenar bulunur.
• Eşkenar Üçgen: Tüm kenarları ve açıları eşit olan üçgendir. Her iç açısı 60°'dir.
• İkizkenar Üçgen: İki kenarı ve iki açısı eşit olan üçgendir. Eşit kenarların karşısındaki açılar eşittir.

3. Önemli Teoremler

• Pisagor Teoremi: Dik üçgende hipotenüsün karesi, dik kenarların kareleri toplamına eşittir. \( c^2 = a^2 + b^2 \)
• Sinüs Teoremi: Bir üçgende kenarlar, karşılarındaki açıların sinüsleriyle orantılıdır. \( \frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} \)

Not: Bu özellikler, üçgenlerle ilgili problem çözümlerinde sıkça kullanılır. Özellikle kenar-açı ilişkisi ve üçgen eşitsizliği, üçgen oluşturma sorularında kritik öneme sahiptir.

Answer 2

9. Sınıf Üçgende Açı ve Kenarlarla İlgili Özellikler Çözümlü Test Soruları

Soru 1: Bir ABC üçgeninde m(∠A) = 50° ve m(∠B) = 70° olduğuna göre, kenar uzunlukları arasındaki doğru sıralama aşağıdakilerden hangisidir? (Üçgen eşitsizliğini ve açı-kenar bağıntılarını dikkate alınız.)

a) |AB| < |AC| < |BC|
b) |BC| < |AC| < |AB|
c) |AC| < |AB| < |BC|
d) |AB| < |BC| < |AC|
e) |BC| < |AB| < |AC|

Cevap: e) |BC| < |AB| < |AC|
Çözüm: m(∠C) = 180° - (50° + 70°) = 60° bulunur. En küçük açı (50°) karşısındaki kenar |BC|, en büyük açı (70°) karşısındaki kenar |AC| olur. Sıralama: |BC| < |AB| < |AC|.

Soru 2: Bir üçgenin iki kenarı 8 cm ve 12 cm'dir. Bu üçgenin üçüncü kenar uzunluğu (x) için aşağıdaki aralıklardan hangisi doğrudur?

a) 4 < x < 20
b) 5 < x < 19
c) 6 < x < 18
d) 7 < x < 17
e) 8 < x < 16

Cevap: a) 4 < x < 20
Çözüm: Üçgen eşitsizliğine göre |12-8| < x < 12+8 → 4 < x < 20 olmalıdır. Diğer aralıklar bu kuralı sağlamaz.

Soru 3: Şekildeki ABC üçgeninde [AD] açıortaydır. |AB| = 10 cm, |AC| = 15 cm ve |BD| = 4 cm olduğuna göre |DC| kaç cm'dir?

a) 5
b) 6
c) 7
d) 8
e) 9

Cevap: b) 6
Çözüm: Açıortay teoremine göre |AB|/|AC| = |BD|/|DC| → 10/15 = 4/x → 2/3 = 4/x → x = 6 cm bulunur.