9. Sınıf g(x) = |ax + b| Şeklinde Tanımlı Mutlak Değer Fonksiyonlarının Cebirsel ve Grafiksel Temsili Nedir?

Question

Mutlak değer fonksiyonlarında g(x) = |ax + b| ifadesini çözerken içteki ifadenin sıfır olduğu noktayı bulup parçalı şekilde yazmam gerekiyor ama tam anlayamadım. Ayrıca grafiği çizerken "V" şeklini nasıl oluşturacağımı ve eğiminin nasıl değiştiğini kavrayamıyorum. Basit bir örnekle anlatabilir misiniz?

Answer 1

g(x) = |ax + b| Şeklinde Tanımlı Mutlak Değer Fonksiyonları

Mutlak değer fonksiyonu, bir sayının sıfıra olan uzaklığını ifade eder. g(x) = |ax + b| şeklindeki fonksiyonlar, doğrusal bir ifadenin mutlak değerini alarak oluşturulur. Bu fonksiyonların cebirsel ve grafiksel temsillerini inceleyelim.

Cebirsel Temsil

Mutlak değer fonksiyonu, içindeki ifadenin işaretine göre parçalı şekilde yazılabilir:

• Eğer ax + b ≥ 0 ise, g(x) = ax + b.
• Eğer ax + b < 0 ise, g(x) = -(ax + b).

Örneğin, g(x) = |2x - 4| fonksiyonu şu şekilde parçalı yazılır:

• 2x - 4 ≥ 0 ⇒ x ≥ 2 için g(x) = 2x - 4.
• 2x - 4 < 0 ⇒ x < 2 için g(x) = -2x + 4.

Grafiksel Temsil

g(x) = |ax + b| fonksiyonunun grafiği, "V" şeklinde bir grafiktir. Bu grafiğin özellikleri:

• Kritik nokta: Mutlak değerin içindeki ifadenin sıfır olduğu noktadır. ax + b = 0 ⇒ x = -b/a.
• Bu nokta, grafiğin tepe noktasıdır (minimum nokta).
• Grafik, kritik noktanın solunda ve sağında iki farklı doğrusal parçadan oluşur.

Örnek: g(x) = |2x - 4| fonksiyonunun grafiği:

• Kritik nokta: 2x - 4 = 0 ⇒ x = 2.
• x ≥ 2 için doğru: y = 2x - 4 (eğim = 2).
• x < 2 için doğru: y = -2x + 4 (eğim = -2).
• Tepe noktası: (2, 0).

Genel Özellikler

• Fonksiyon, her zaman süreklidir.
• Tepe noktasında türevlenemez (köşe oluşturur).
• a > 0 ise grafik yukarı doğru açılan "V", a < 0 ise aşağı doğru açılan "V" şeklindedir.

Answer 2

9. Sınıf g(x) = |ax + b| Şeklinde Tanımlı Mutlak Değer Fonksiyonlarının Cebirsel ve Grafiksel Temsili Çalışma Kağıdı ve Etkinlikler

Boşluk Doldurma

1. \( g(x) = |2x - 4| \) fonksiyonunun kritik noktası \( x = \) _____ 'dir.

2. \( g(x) = |-3x + 6| \) fonksiyonunun grafiği \( x \) eksenini _____ noktasında keser.

3. \( g(x) = |x + 5| \) fonksiyonunun minimum değeri _____ 'dır.

Doğru/Yanlış

4. \( g(x) = |x - 2| \) fonksiyonunun grafiği \( (2, 0) \) noktasında kırılır. (D/Y)

5. \( g(x) = |4x| \) fonksiyonu her zaman artandır. (D/Y)

6. \( g(x) = |-x + 1| \) fonksiyonu ile \( g(x) = |x - 1| \) fonksiyonunun grafikleri aynıdır. (D/Y)

Eşleştirme

• A) \( g(x) = |x + 3| \)
• B) \( g(x) = |-2x| \)
• C) \( g(x) = |0.5x - 1| \)

7. Kritik noktası \( x = -3 \) olan fonksiyon: _____

8. Grafiği \( x \) eksenine daha dik olan fonksiyon: _____

9. \( y \) eksenini \( (0, 1) \) noktasında kesen fonksiyon: _____

Açık Uçlu Sorular

10. \( g(x) = |3x - 9| \) fonksiyonunun grafiğini çiziniz ve eksen kesim noktalarını belirtiniz.

11. \( g(x) = |-x + 4| \) fonksiyonunun kritik noktasını bulunuz ve bu noktadaki davranışını açıklayınız.

Kısa Test

12. \( g(x) = |2x + 6| \) fonksiyonu için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

a) Grafik \( x \) eksenini \( (-3, 0) \) noktasında keser.

b) Fonksiyonun eğimi her yerde 2'dir.

c) Minimum değeri -6'dır.

d) \( x = 3 \) için \( g(x) = 0 \) olur.

Cevaplar:

1: 2

2: 2

3: 0

4: D

5: Y

6: D

7: A

8: B

9: C

10: (Eksen kesimleri: \( x=3 \), \( y=9 \))

11: (Kritik nokta: \( x=4 \), bu noktada V şekilli kırılma)

12: a

Answer 3

9. Sınıf g(x) = |ax + b| Şeklinde Tanımlı Mutlak Değer Fonksiyonlarının Cebirsel ve Grafiksel Temsili Çözümlü Test Soruları

Soru 1: \( g(x) = |2x - 6| \) fonksiyonunun kritik noktası aşağıdakilerden hangisidir? Bu fonksiyonun grafiği hangi noktada "V" şeklini alır?
a) \( x = -3 \)
b) \( x = 0 \)
c) \( x = 2 \)
d) \( x = 3 \)
e) \( x = 6 \)
Cevap: d) \( x = 3 \)
Çözüm: Mutlak değer fonksiyonlarının kritik noktası, içteki ifadenin sıfıra eşit olduğu noktadır. \( 2x - 6 = 0 \) denklemi çözülürse \( x = 3 \) bulunur. Grafik bu noktada yön değiştirir.

Soru 2: \( g(x) = |-3x + 9| \) fonksiyonunun grafiği için aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
a) Grafik, \( x = 3 \) noktasında simetriktir.
b) Fonksiyonun eğimi kritik noktanın solunda -3, sağında 3'tür.
c) Fonksiyonun minimum değeri 0'dır.
d) Grafik, \( y \)-eksenini \( (0, 9) \) noktasında keser.
e) Fonksiyonun tanım kümesi \( \mathbb{R} \)'dir.
Cevap: b) Fonksiyonun eğimi kritik noktanın solunda -3, sağında 3'tür.
Çözüm: Mutlak değer fonksiyonlarında eğim, kritik noktanın solunda iç ifadenin katsayısının negatifi (\( 3 \)), sağında ise aynı katsayıdır (\( -3 \)). Seçenekte verilen ifade ters olduğu için yanlıştır.