9. Sınıf Gerçek Sayılarda Tanımlı Mutlak Değer Fonksiyonları ve Nitel Özellikleri Nedir?

Question

Mutlak değer fonksiyonlarında, sayının işaretine bakmadan uzaklık ifade ediliyor ama grafik çizerken kırılma noktasını nasıl belirleyeceğimi tam anlayamadım. Ayrıca, fonksiyonun artan-azalan olduğu aralıkları ve simetri özelliklerini karıştırıyorum. Basitçe anlatabilecek var mı?

Answer 1

Gerçek Sayılarda Tanımlı Mutlak Değer Fonksiyonları

Mutlak değer fonksiyonu, bir gerçek sayının sıfıra olan uzaklığını ifade eder. Matematiksel olarak, \( x \) bir gerçek sayı olmak üzere mutlak değer fonksiyonu şu şekilde tanımlanır:

\[ |x| = \begin{cases} x, & \text{eğer } x \geq 0 \\ -x, & \text{eğer } x < 0 \end{cases} \]

Mutlak Değerin Özellikleri

• Negatif Olmama: Her \( x \in \mathbb{R} \) için \( |x| \geq 0 \).
• Simetri: \( |-x| = |x| \).
• Üçgen Eşitsizliği: Her \( x, y \in \mathbb{R} \) için \( |x + y| \leq |x| + |y| \).
• Çarpım Özelliği: \( |x \cdot y| = |x| \cdot |y| \).
• Bölüm Özelliği: \( y \neq 0 \) için \( \left| \frac{x}{y} \right| = \frac{|x|}{|y|} \).

Mutlak Değer Fonksiyonunun Grafiği

Mutlak değer fonksiyonunun grafiği "V" şeklindedir ve orijin noktasından \((0,0)\) geçer. Grafik, \( x \geq 0 \) için \( y = x \) doğrusu, \( x < 0 \) için ise \( y = -x \) doğrusu ile çizilir.

Nitel Özellikler

• Süreklilik: Mutlak değer fonksiyonu tüm gerçek sayılarda süreklidir.
• Türevlenebilirlik: \( x = 0 \) noktasında türevi yoktur, diğer tüm noktalarda türevlenebilir.
• Monotonluk: \( x < 0 \) için azalan, \( x > 0 \) için artan bir fonksiyondur.
• Minimum Değer: Fonksiyonun minimum değeri \( x = 0 \) noktasında \( 0 \)'dır.

Örnekler

Örnek 1: \( | -5 | = 5 \)

Örnek 2: \( |3 - 7| = |-4| = 4 \)

Örnek 3: \( |2x - 6| = 10 \) denkleminin çözümü için iki durum incelenir:

• \( 2x - 6 = 10 \Rightarrow x = 8 \)
• \( 2x - 6 = -10 \Rightarrow x = -2 \)

Answer 2

9. Sınıf Gerçek Sayılarda Tanımlı Mutlak Değer Fonksiyonları ve Nitel Özellikleri Çalışma Kağıdı ve Etkinlikler

Boşluk Doldurma

1. Mutlak değer fonksiyonu \( f(x) = |x| \) şeklinde tanımlanır ve her zaman __________ değerler alır.

2. \( |x - 3| = 5 \) denkleminin çözüm kümesi __________ ve __________ olarak bulunur.

3. Mutlak değer fonksiyonunun grafiği __________ şeklindedir.

Eşleştirme

• A) \( |x| = 4 \)
• B) \( |x + 2| = 0 \)
• C) \( |x - 1| = -3 \)
• D) \( |2x| = 6 \)

1. Çözüm kümesi boş olan denklem

2. Tek çözümü olan denklem

3. İki farklı çözümü olan denklem

Doğru/Yanlış

1. \( |x| \) fonksiyonu her zaman pozitif değerler alır. (D/Y)

2. \( |x - a| = b \) denkleminin çözümü yoksa \( b < 0 \)'dır. (D/Y)

3. \( |x| = |-x| \) eşitliği her zaman doğrudur. (D/Y)

Açık Uçlu Sorular

1. \( f(x) = |2x - 4| \) fonksiyonunun kritik noktasını bulunuz.

2. \( |3x + 1| = 7 \) denkleminin çözüm kümesini yazınız.

3. Mutlak değer fonksiyonunun grafiğini çizerken hangi nokta önemlidir?

Kısa Test

1. \( |x + 5| = 2 \) denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

a) \{3, 7\} b) \{-3, -7\} c) \{-7, 3\} d) \{-3, 7\}

2. \( f(x) = |x - 2| + 3 \) fonksiyonunun minimum değeri kaçtır?

a) 0 b) 2 c) 3 d) 5

3. Hangi ifade mutlak değer fonksiyonunun özelliklerinden biri değildir?

a) Simetriktir. b) Süreklidir. c) Türevlenebilirdir. d) Negatif değer almaz.

Cevaplar:

1: pozitif, 2: -2 ve 8, 3: V

1: C, 2: B, 3: A

1: D, 2: D, 3: D

1: 2, 2: \{-8/3, 2\}, 3: Kritik nokta

1: b, 2: c, 3: c

Answer 3

9. Sınıf Gerçek Sayılarda Tanımlı Mutlak Değer Fonksiyonları ve Nitel Özellikleri Çözümlü Test Soruları

Soru 1: \( f(x) = |2x - 6| \) fonksiyonunun kritik noktası aşağıdakilerden hangisidir?
a) \( x = 0 \)
b) \( x = 2 \)
c) \( x = 3 \)
d) \( x = 6 \)
e) \( x = -3 \)
Cevap: c) \( x = 3 \)
Çözüm: Mutlak değer fonksiyonunun kritik noktası, içinin sıfır olduğu noktadır. \( 2x - 6 = 0 \) denklemi çözülürse \( x = 3 \) bulunur.

Soru 2: \( g(x) = |x + 4| - 2 \) fonksiyonunun grafiği için aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
a) \( x \)-eksenini \( x = -6 \) ve \( x = -2 \) noktalarında keser.
b) Minimum değeri \(-2\)'dir.
c) \( y \)-eksenini \( y = 2 \) noktasında keser.
d) Simetri ekseni \( x = -4 \) doğrusudur.
e) Parçalı fonksiyon olarak \( g(x) = \begin{cases} x + 2 & \text{eğer } x \geq -4 \\ -x - 6 & \text{eğer } x < -4 \end{cases} \) şeklinde yazılabilir.
Cevap: c) \( y \)-eksenini \( y = 2 \) noktasında keser.
Çözüm: \( y \)-keseni için \( x = 0 \) yazarsak \( g(0) = |0 + 4| - 2 = 2 \) olur. Dolayısıyla grafik \( y \)-eksenini \( y = 2 \)'de keser, bu ifade doğrudur. Ancak soruda yanlış olan seçenek istendiği için cevap c'dir (diğer seçeneklerin hepsi doğru).