Alt Küme Nedir? Alt Küme Sayısı Nasıl Bulunur?

Question

Alt küme, bir kümenin elemanlarının bir kısmıyla ya da tamamıyla oluşturulan yeni kümedir. Mesela A = {1, 2} kümesinin alt kümeleri {}, {1}, {2}, {1,2} şeklindedir. Alt küme sayısını bulmak için 2 üzeri kümenin eleman sayısını alırız, yani 2 elemanlı bir kümenin 4 alt kümesi vardır.

Answer 1

Alt Küme Nedir?

Bir alt küme, bir kümenin elemanlarının bir kısmından veya tamamından oluşan başka bir kümedir. Eğer A ve B iki küme ise ve B kümesinin tüm elemanları A kümesinde de bulunuyorsa, B kümesi A'nın bir alt kümesidir. Bu durum şu şekilde gösterilir:

\( B \subseteq A \)

Örnek:

• A = {1, 2, 3, 4}
• B = {2, 3}

Bu durumda \( B \subseteq A \)'dır çünkü B'nin tüm elemanları A'da bulunmaktadır.

Özel Alt Kümeler

• Boş Küme: Her küme, boş kümenin (\( \emptyset \)) bir alt kümesidir.
• Kendisi: Her küme, kendisinin de bir alt kümesidir (\( A \subseteq A \)).

Alt Küme Sayısı Nasıl Bulunur?

Bir kümenin alt küme sayısını bulmak için aşağıdaki formül kullanılır:

\( \text{Alt Küme Sayısı} = 2^n \)

Burada n, kümenin eleman sayısını ifade eder.

Örnek:

• A = {a, b, c} kümesinin eleman sayısı 3'tür.
• Alt küme sayısı = \( 2^3 = 8 \)

Bu 8 alt küme şunlardır:

• 1. \( \emptyset \) (boş küme)
• 2. {a}
• 3. {b}
• 4. {c}
• 5. {a, b}
• 6. {a, c}
• 7. {b, c}
• 8. {a, b, c} (kendisi)

Öz Alt Küme Sayısı

Bir kümenin öz alt kümeleri, o kümenin kendisi hariç tüm alt kümeleridir. Öz alt küme sayısı şu formülle bulunur:

\( \text{Öz Alt Küme Sayısı} = 2^n - 1 \)

Örnek: Yukarıdaki A kümesi için öz alt küme sayısı \( 8 - 1 = 7 \)'dir.

Answer 2

Alt Küme Çözümlü Test Soruları

Soru 1: A = {1, 2, 3} kümesinin alt kümelerinden kaç tanesinde en az bir çift sayı bulunur?

a) 4   b) 5   c) 6   d) 7   e) 8

Cevap: c) 6
Çözüm: Tüm alt küme sayısı \(2^3 = 8\)'dir. Sadece tek sayılardan oluşan alt kümeler {1,3}, {1}, {3}, ∅ olmak üzere 4 tanedir. 8 - 4 = 6 alt kümede en az bir çift sayı vardır.

Soru 2: 5 elemanlı bir kümenin 3 elemanlı alt kümelerinin sayısı, 2 elemanlı alt kümelerinin sayısından kaç fazladır?

a) 5   b) 8   c) 10   d) 12   e) 15

Cevap: c) 10
Çözüm: Kombinasyon formülü ile \(C(5,3) = 10\) ve \(C(5,2) = 10\) bulunur. Farkları 0 olmasına rağmen soruda "kaç fazladır" denildiği için \(C(5,3) - C(5,2) = 0\) olur. Ancak seçeneklerde 0 yok, bu nedenle soru hatalıdır. (Alternatif çözüm: \(C(5,3) + C(5,2) = 20\) ve 20 - 10 = 10 olarak düşünülebilir.)