Alt Küme Nedir? Alt Küme Sayısı Nasıl Bulunur?

Question

Alt kümenin ne olduğunu anlamakta zorlanıyorum. Bir kümenin içinde başka bir küme nasıl oluyor? Ayrıca eleman sayısına göre alt küme sayısını hesaplamak için formülü karıştırıyorum, 2 üssü n formülünü nasıl kullanacağım?

Answer 1

Alt Küme Nedir?

Bir A kümesinin tüm elemanları, başka bir B kümesinin de elemanı ise, A kümesi B kümesinin bir alt kümesidir. Bu durum \( A \subseteq B \) şeklinde gösterilir.

Örneğin:

• \( B = \{1, 2, 3, 4\} \) kümesi verilsin.
• \( A = \{2, 4\} \) kümesinin tüm elemanları (2 ve 4) B kümesinde de bulunduğu için, A kümesi B'nin bir alt kümesidir (\( A \subseteq B \)).

İki özel alt küme vardır:

• Boş Küme (\( \varnothing \)): Hiç elemanı olmayan kümedir ve her kümenin alt kümesidir.
• Kendisi: Her küme, kendisinin de bir alt kümesidir (\( B \subseteq B \)).

Alt Küme Sayısı Nasıl Bulunur?

n elemanlı bir kümenin alt küme sayısını bulmak için bir formül kullanırız. Bu formül:

\( 2^n \)

Yani, n elemanlı bir kümenin \( 2^n \) tane alt kümesi vardır.

Bu formülün mantığı şudur: Kümedeki her bir eleman için iki seçenek vardır: Alt kümeye dahil etmek ya da dahil etmemek. Tüm elemanlar için yapılan bu ikili seçimlerin sayısı \( 2 \times 2 \times 2 \times ... \times 2 \) (n tane) = \( 2^n \) şeklinde hesaplanır.

Örnek Soru ve Çözüm

Soru: \( A = \{a, b, c\} \) kümesinin alt küme sayısını bulunuz.

Çözüm:

• A kümesi 3 elemanlıdır (\( n = 3 \)).
• Alt küme sayısı formülü \( 2^n \) olduğuna göre, \( 2^3 = 8 \) bulunur.
• Sonuç olarak, A kümesinin 8 tane alt kümesi vardır.

Bu 8 alt kümeyi yazacak olursak:

1. \( \varnothing \) (Boş küme)
2. \( \{a\} \)
3. \( \{b\} \)
4. \( \{c\} \)
5. \( \{a, b\} \)
6. \( \{a, c\} \)
7. \( \{b, c\} \)
8. \( \{a, b, c\} \) (Kümenin kendisi)

Öz Alt Küme Sayısı

Bir kümenin, kendisi hariç olan alt kümelerine öz alt kümeleri denir. Öz alt küme sayısını bulmak için, toplam alt küme sayısından 1 çıkarırız (kümenin kendisini çıkarmış oluruz).

n elemanlı bir kümenin öz alt küme sayısı: \( 2^n - 1 \)**

Yukarıdaki örnekte, A kümesinin öz alt küme sayısı \( 8 - 1 = 7 \)'dir. (Listedeki son madde olan \(\{a, b, c\}\) hariç diğerleri öz alt kümedir).

Answer 2

Alt Küme Çözümlü Test Soruları

Soru 1: A = {x, y, z} kümesinin tüm alt kümeleri yazılıyor. Bu alt kümelerden kaç tanesinde y elemanı bulunur, z elemanı bulunmaz?
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
Cevap: b) 2
Çözüm: Kümede 3 eleman olduğu için toplam \(2^3 = 8\) alt küme vardır. y'nin bulunup z'nin bulunmadığı alt kümeleri bulmak için, y elemanı sabit alınır, z elemanı kesinlikle alınmaz, x elemanı ise isteğe bağlıdır (ya alınır ya alınmaz). Bu durumda oluşacak alt kümeler: {y} ve {x, y} olmak üzere 2 tanedir.

Soru 2: 6 elemanlı bir kümenin alt küme sayısı, 3 elemanlı bir kümenin alt küme sayısından kaç fazladır?
a) 56
b) 48
c) 60
d) 52
Cevap: a) 56
Çözüm: n elemanlı bir kümenin alt küme sayısı \(2^n\) formülü ile bulunur. Buna göre; 6 elemanlı kümenin alt küme sayısı: \(2^6 = 64\), 3 elemanlı kümenin alt küme sayısı: \(2^3 = 8\)'dir. Aradaki fark ise 64 - 8 = 56'dır.

Soru 3: Alt küme sayısı 32 olan bir kümenin, 2 elemanlı kaç alt kümesi vardır?
a) 6
b) 10
c) 15
d) 20
Cevap: b) 10
Çözüm: Kümenin alt küme sayısı \(2^n = 32\) ise \(n = 5\)'tir. Yani küme 5 elemanlıdır. 5 elemanlı bir kümenin 2 elemanlı alt kümelerinin sayısı kombinasyon ile bulunur: \(C(5,2) = \frac{5!}{2! . (5-2)!} = \frac{5.4}{2.1} = 10\).