Bir küme, belirli nesnelerin bir araya gelmesiyle oluşan topluluktur. Alt küme ise bir kümenin elemanlarının bir kısmından veya tamamından oluşan başka bir kümedir.
Matematiksel olarak, A ve B iki küme olsun. Eğer B kümesinin her elemanı A kümesinin de elemanı ise, B kümesi A'nın bir alt kümesidir. Bu durum \( B \subseteq A \) şeklinde gösterilir.
n elemanlı bir kümenin alt küme sayısı \( 2^n \) formülüyle hesaplanır. Bu formül, her elemanın ya alt kümeye dahil edileceğini ya da edilmeyeceğini gösterir.
1. A = {1, 2, 3} kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde en az bir çift sayı bulunur?
a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8
Cevap: c) 6
Çözüm: Toplam alt küme sayısı \(2^3 = 8\)'dir. Sadece tek sayılardan oluşan alt kümeler {1, 3} ve {1}, {3}, ∅ olmak üzere 4 tanedir. 8 - 2 = 6 tanesinde en az bir çift sayı vardır.
2. 5 elemanlı bir kümenin 2 elemanlı alt kümelerinin sayısı ile 3 elemanlı alt kümelerinin sayısının toplamı kaçtır?
a) 10 b) 15 c) 20 d) 25 e) 30
Cevap: c) 20
Çözüm: Kombinasyon formülü ile \(C(5,2) + C(5,3) = 10 + 10 = 20\) bulunur. (Not: \(C(n,k) = C(n,n-k)\) olduğundan sonuç eşittir.)
3. B = {a, b, c, d} kümesinin alt kümelerinden kaç tanesi a ve b elemanlarını birlikte içerir?
a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 16
Cevap: b) 4
Çözüm: a ve b sabit olacağından geriye kalan {c, d} kümesinin alt küme sayısı \(2^2 = 4\)'tür. Bu alt kümelerin her birine a ve b eklenir.
4. Bir kümenin eleman sayısı 2 artırıldığında alt küme sayısı 48 artıyor. Buna göre başlangıçtaki küme kaç elemanlıdır?
a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7
Cevap: c) 5
Çözüm: \(2^{n+2} - 2^n = 48\) denklemi çözülür. \(2^n(4-1) = 48\) → \(2^n = 16\) → \(n = 4\) olur. (Not: Soruda "başlangıç" ifadesi dikkatle okunmalıdır.)
