Sıralama Özelliği ile Gerçek Sayıların Karşılaştırılması

Question

"Sıralama özelliğini kullanırken hangi sayının daha büyük veya küçük olduğunu karşılaştırmakta zorlanıyorum. Özellikle negatif sayılar ve kesirler devreye girince kafam karışıyor. Sayı doğrusu üzerinde göstermeye çalışıyorum ama bazen mantığını tam kuramıyorum."

Answer 1

Sıralama Özelliği ile Gerçek Sayıların Karşılaştırılması

Gerçek sayılar kümesi (\(\mathbb{R}\)), sıralama özelliği adı verilen bir yapıya sahiptir. Bu özellik, herhangi iki gerçek sayının karşılaştırılabilmesini ve aralarında büyüklük-küçüklük ilişkisi kurulabilmesini sağlar.

Sıralama Özelliğinin Tanımı

Her \(a, b \in \mathbb{R}\) için aşağıdaki üç durumdan yalnızca biri geçerlidir:

• \(a < b\) (a, b'den küçüktür)
• \(a = b\) (a, b'ye eşittir)
• \(a > b\) (a, b'den büyüktür)

Sıralama Özelliğinin Sonuçları

Sıralama özelliği, gerçek sayılar üzerinde şu temel kuralları beraberinde getirir:

• Geçişlilik: Eğer \(a < b\) ve \(b < c\) ise \(a < c\)'dir.
• Toplama ile Uyumluluk: \(a < b\) ise \(a + c < b + c\) olur.
• Çarpma ile Uyumluluk: \(a < b\) ve \(c > 0\) ise \(a \cdot c < b \cdot c\) olur.

Örnekler

Örnek 1: \(3\) ve \(5\) sayılarını karşılaştıralım:

• \(3 < 5\) olduğu açıktır.
• Bu durumda \(3 + 2 < 5 + 2\) (yani \(5 < 7\)) geçerlidir.

Örnek 2: \(-2\) ve \(4\) sayılarını karşılaştıralım:

• \(-2 < 4\)'tür.
• Eğer her iki tarafı \(3\) ile çarparsak: \(-6 < 12\) elde ederiz.
• Ancak \(-1\) ile çarparsak eşitsizlik yön değiştirir: \(2 > -4\) olur.

Uyarılar

Sıralama özelliğini kullanırken dikkat edilmesi gereken noktalar:

• Negatif bir sayı ile çarpma veya bölme yapılıyorsa, eşitsizlik yön değiştirir.
• Karmaşık sayılar (\(\mathbb{C}\)) kümesinde sıralama özelliği yoktur.

Answer 2

Sıralama Özelliği ile Gerçek Sayıların Karşılaştırılması Çözümlü Test Soruları

Soru 1: Aşağıdaki sayıların küçükten büyüğe doğru sıralanışı hangi seçenekte doğru verilmiştir?
\( \sqrt{5} \), \( 2,\overline{3} \), \( \frac{7}{3} \), \( 2.1 \)

a) \( \sqrt{5} \) < \( 2.1 \) < \( 2,\overline{3} \) < \( \frac{7}{3} \)
b) \( 2.1 \) < \( \sqrt{5} \) < \( 2,\overline{3} \) < \( \frac{7}{3} \)
c) \( 2.1 \) < \( 2,\overline{3} \) < \( \sqrt{5} \) < \( \frac{7}{3} \)
d) \( \frac{7}{3} \) < \( 2,\overline{3} \) < \( \sqrt{5} \) < \( 2.1 \)
e) \( 2,\overline{3} \) < \( \sqrt{5} \) < \( \frac{7}{3} \) < \( 2.1 \)

Cevap: B) \( 2.1 \) < \( \sqrt{5} \) < \( 2,\overline{3} \) < \( \frac{7}{3} \)
Çözüm: Sayıları ondalık olarak yazalım: \( \sqrt{5} ≈ 2.236 \), \( 2,\overline{3} ≈ 2.333 \), \( \frac{7}{3} ≈ 2.333 \), \( 2.1 \). Sıralama: \( 2.1 \) < \( 2.236 \) < \( 2.333 \) < \( 2.333 \).

Soru 2: \( a = \frac{1}{2} \), \( b = 0,\overline{4} \), \( c = \sqrt{0.25} \) sayıları için aşağıdaki karşılaştırmalardan hangisi yanlıştır?

a) \( a < b \)
b) \( b > c \)
c) \( c = a \)
d) \( a + c > b \)
e) \( b - a > 0 \)

Cevap: D) \( a + c > b \)
Çözüm: \( a = 0.5 \), \( b ≈ 0.444 \), \( c = 0.5 \). \( a + c = 1 \) ve \( b ≈ 0.444 \) olduğundan \( 1 > 0.444 \) doğrudur. Ancak soru yanlış olanı sorduğu için D seçeneği doğru cevaptır (diğer seçeneklerde yanlış ifade yok).

Soru 3: \( x \) ve \( y \) gerçek sayıları için \( x < y \) olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi her zaman doğrudur?

a) \( x^2 < y^2 \)
b) \( \frac{1}{x} > \frac{1}{y} \)
c) \( x - y > 0 \)
d) \( \sqrt{x} < \sqrt{y} \)
e) \( |x| < |y| \)

Cevap: D) \( \sqrt{x} < \sqrt{y} \)
Çözüm: \( x \) ve \( y \) pozitif sayılar olduğunda kök alma işlemi sıralamayı korur. Diğer seçenekler negatif sayılar için geçersizdir (örneğin \( x = -2 \), \( y = -1 \) için A ve B yanlış olur).