Bir Önermenin Olumsuzu (Değili) Nedir?
Bir önermenin olumsuzu, o önermenin doğruluk değerini tersine çeviren yeni bir önermedir. Bir p önermesinin olumsuzu ~p veya p' şeklinde gösterilir. Eğer p önermesi doğru (1) ise, ~p önermesi yanlış (0) olur. Eğer p yanlış ise, ~p doğru olur.
Basit Önermelerde Olumsuz Alma
Basit bir önermenin olumsuzu alınırken, önermenin anlamı tamamen tersine çevrilir.
- p: "Bugün hava güneşli."
- ~p: "Bugün hava güneşli değil."
Matematiksel bir ifade için:
- q: "\( x > 5 \)"
- ~q: "\( x \leq 5 \)"
Bileşik Önermelerde Olumsuz Alma (De Morgan Kuralları)
Bileşik önermelerin olumsuzu alınırken, De Morgan Kuralları kullanılır. Bu kurallar, "ve" (\(\land\)) ile "veya" (\(\lor\)) bağlaçlarının olumsuzu ile ilgilidir.
Kural 1: "ve" bağlacının olumsuzu
- \( \sim(p \land q) \equiv (\sim p) \lor (\sim q) \)
- Yani, iki önermenin "ve" bağlacı ile bağlanmasının olumsuzu, bu önermelerin ayrı ayrı olumsuzlarının "veya" bağlacı ile bağlanmasına denktir.
Örnek:
- p \(\land\) q: "Hava yağmurlu ve soğuk."
- ~(p \(\land\) q): "Hava yağmurlu değil veya soğuk değil."
Kural 2: "veya" bağlacının olumsuzu
- \( \sim(p \lor q) \equiv (\sim p) \land (\sim q) \)
- Yani, iki önermenin "veya" bağlacı ile bağlanmasının olumsuzu, bu önermelerin ayrı ayrı olumsuzlarının "ve" bağlacı ile bağlanmasına denktir.
Örnek:
- p \(\lor\) q: "Sinemaya veya tiyatroya gideceğim."
- ~(p \(\lor\) q): "Sinemaya gitmeyeceğim ve tiyatroya gitmeyeceğim."
Koşullu Önermelerde Olumsuz Alma
"Eğer p ise q" şeklindeki bir koşullu önermenin (\( p \rightarrow q \)) olumsuzu, "p ve q'nun değili" şeklindedir.
- \( \sim(p \rightarrow q) \equiv p \land (\sim q) \)
Örnek:
- p \(\rightarrow\) q: "Eğer yağmur yağarsa, o zaman şemsiye alırım."
- ~(p \(\rightarrow\) q): "Yağmur yağar ve şemsiye almam."
İki Yönlü Koşullu Önermelerde Olumsuz Alma
"p ancak ve ancak q" (\( p \leftrightarrow q \)) önermesinin olumsuzu alınırken, bunu "(p ve q) veya (p'nin değili ve q'nun değili)" şeklinde düşünmek yerine, genellikle "p ve q'nun farklı doğruluk değerlerine sahip olması" olarak ifade edebiliriz. Ancak mantıksal eşdeğeri şudur:
- \( \sim(p \leftrightarrow q) \equiv (p \land \sim q) \lor (\sim p \land q) \)
Bu, p ile q'nun farklı doğruluk değerlerine sahip olduğu duruma denktir.
Örnek:
- p \(\leftrightarrow\) q: "Dışarı çıkmak için ancak ve ancak işim biterse."
- ~(p \(\leftrightarrow\) q): "(Dışarı çıkarım ve işim bitmez) veya (dışarı çıkmam ve işim biter)."
Özet
- Basit bir önermenin olumsuzu: Önermenin anlamını tersine çevir.
- \(\sim(p \land q) \equiv (\sim p) \lor (\sim q)\)
- \(\sim(p \lor q) \equiv (\sim p) \land (\sim q)\)
- \(\sim(p \rightarrow q) \equiv p \land (\sim q)\)
- \(\sim(p \leftrightarrow q) \equiv (p \land \sim q) \lor (\sim p \land q)\)
Bu kuralları uygulayarak herhangi bir önermenin olumsuzunu doğru bir şekilde yazabilirsiniz.
