# 📐 Geometrik Dizi Ortak Çarpanı (r) Nedir? – Ders Notu
🎯 Konu: Geometrik Diziler ve Ortak Çarpan (r)
Bu ders notunda, geometrik dizilerin temel taşı olan ortak çarpan (r) kavramını öğreneceğiz. Geometrik dizi, analizden finans matematiğine, biyolojiden bilgisayar bilimlerine kadar birçok alanda karşımıza çıkan önemli bir matematiksel modeldir.
🔍 Geometrik Dizi Nedir?
Bir sayı dizisinde, ardışık her terim bir önceki terimin sabit bir sayı ile çarpılmasıyla elde ediliyorsa, bu diziye geometrik dizi denir. Bu sabit sayıya ise ortak çarpan veya r (ratio) adı verilir.
✨ Ortak Çarpan (r) Nasıl Bulunur?
Bir geometrik dizide herhangi bir terimi (\(a_n\)), bir önceki terime (\(a_{n-1}\)) böldüğümüzde ortak çarpanı (\(r\)) buluruz.
Matematiksel olarak ifade edersek:
\[ r = \frac{a_n}{a_{n-1}} \]
Örnek: 2, 6, 18, 54, ... dizisini inceleyelim.
- 🎯 \( r = \frac{6}{2} = 3 \)
- 🎯 \( r = \frac{18}{6} = 3 \)
- 🎯 \( r = \frac{54}{18} = 3 \)
Görüldüğü gibi tüm ardışık terimlerin oranı 3'tür. Ortak çarpan \( r = 3 \) olur.
📈 Ortak Çarpanın (r) Dizi Üzerindeki Etkisi
Ortak çarpanın değeri, dizinin davranışını tamamen belirler:
1. 🚀 \( |r| > 1 \) ise (Mutlak Değer 1'den Büyük)
- Dizi artan veya azalan bir şekilde sonsuza doğru ıraksar.
- Örnek: \( 5, 15, 45, ... \) (r=3, pozitif ve artan)
- Örnek: \( -4, -12, -36, ... \) (r=3, negatif ve azalan)
2. 🐌 \( |r| < 1 \) ise (Mutlak Değer 1'den Küçük)
- Dizi 0'a yakınsar. Terimler giderek küçülür.
- Örnek: \( 81, 27, 9, 3, ... \) (r=1/3)
3. 🔄 \( r = 1 \) ise
- Tüm terimler birbirine eşit olur. Sabit dizi elde edilir.
- Örnek: \( 7, 7, 7, 7, ... \)
4. 🔀 \( r = -1 \) ise
- Terimler birbirinin negatifi şeklinde ilerler. Salınımlı dizi oluşur.
- Örnek: \( 2, -2, 2, -2, ... \)
🧮 Genel Terim Formülü ve Ortak Çarpan
Geometrik bir dizinin genel terimi, ilk terim (\(a_1\)) ve ortak çarpan (\(r\)) cinsinden şöyle yazılır:
\[ a_n = a_1 \cdot r^{\,n-1} \]
Bu formül, dizinin herhangi bir terimini bulmamızı sağlar.
Uygulama: İlk terimi 5 ve ortak çarpanı 2 olan bir geometrik dizinin 6. terimini bulalım.
\[ a_6 = 5 \cdot 2^{\,6-1} = 5 \cdot 2^5 = 5 \cdot 32 = 160 \]
💎 Özet ve Anahtar Bilgiler
- ✅ Ortak çarpan (r), geometrik dizinin karakterini belirleyen en önemli parametredir.
- ✅ Herhangi bir terimin kendinden önce gelen terime bölümü ile bulunur: \( r = \frac{a_n}{a_{n-1}} \).
- ✅ \(r\) değerinin mutlak büyüklüğü, dizinin yakınsak mı ıraksak mı olduğunu söyler.
- ✅ Geometrik diziler, faiz hesaplamaları, nüfus artış modelleri ve radyoaktif bozunma gibi birçok gerçek hayat probleminde kullanılır.
Bir sonraki derste, geometrik dizilerin toplam formülünü ve ortak çarpanın bu toplam üzerindeki etkisini inceleyeceğiz. 🎓
