İkinci dereceden denklem çözümü

Question

Bu konuyu anlamakta zorlanıyorum çünkü diskriminant formülünü nereden geldiğini tam olarak kavrayamadım. Ayrıca denklemi çarpanlarına ayıramadığım durumlarda formülü hangi adımlarla uygulayacağımı karıştırıyorum.

Answer 1

📊 İkinci Dereceden Denklemler

İkinci dereceden denklemler, genel olarak \( ax^2 + bx + c = 0 \) şeklinde yazılabilen denklemlerdir. Burada \( a \), \( b \) ve \( c \) gerçel sayılar olup, \( a \neq 0 \)'dır. Eğer \( a = 0 \) olursa, denklem birinci dereceden olur.

🎯 Kökleri Bulma Yöntemi: Diskriminant

İkinci dereceden bir denklemin köklerini (çözümlerini) bulmak için diskriminant kavramını kullanırız. Diskriminant, \( \Delta \) (delta) sembolü ile gösterilir ve şu formülle hesaplanır:

\( \Delta = b^2 - 4ac \)

Diskriminantın değeri, denklemin köklerinin doğası hakkında bize bilgi verir:

• ✅ \( \Delta > 0 \) ise: Denklemin birbirinden farklı iki gerçel kökü vardır.
• ✅ \( \Delta = 0 \) ise: Denklemin çakışık iki kökü vardır (tek bir gerçel kök). Bu köke çift katlı kök de denir.
• ✅ \( \Delta < 0 \) ise: Denklemin gerçel kökü yoktur. Bunun yerine birbirinin eşleniği olan iki karmaşık kökü vardır.

🧮 Köklerin Formülü

İkinci dereceden bir denklemin kökleri, aşağıdaki formül kullanılarak bulunur. Bu formüle "kök formülü" denir:

\( x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \)

Bu formülde \( \pm \) işareti, bir kökün toplama, diğer kökün çıkarma işlemi ile bulunacağını belirtir.

💡 Çözüm Adımları

Bir ikinci dereceden denklemi çözmek için şu adımları izleyebilirsin:

1. 📌 Denklemi \( ax^2 + bx + c = 0 \) standart formuna getir.
2. 📌 \( a \), \( b \) ve \( c \) katsayılarını belirle.
3. 📌 Diskriminantı hesapla: \( \Delta = b^2 - 4ac \).
4. 📌 Diskriminantın değerine göre köklerin durumunu yorumla.
5. 📌 Kök formülünü kullanarak \( x_1 \) ve \( x_2 \) değerlerini bul.

🔢 Örnek Çözüm

Örnek: \( x^2 - 5x + 6 = 0 \) denklemini çözelim.

1. ➡️ Bu denklem standart formdadır. \( a = 1 \), \( b = -5 \), \( c = 6 \).
2. ➡️ Diskriminantı hesaplayalım: \( \Delta = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1 \)
3. ➡️ \( \Delta > 0 \) olduğu için birbirinden farklı iki gerçel kök vardır.
4. ➡️ Kök formülünü uygulayalım: \( x_{1,2} = \frac{-(-5) \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm 1}{2} \)
5. ➡️ Kökleri bulalım:
   • \( x_1 = \frac{5 + 1}{2} = \frac{6}{2} = 3 \)
   • \( x_2 = \frac{5 - 1}{2} = \frac{4}{2} = 2 \)

🎉 Çözüm Kümesi: \( \{2, 3\} \)

⚡ Pratik İpucu

Eğer diskriminant bir tam kare sayı ise (1, 4, 9, 16, ... gibi), kökler rasyonel sayılar olacaktır ve denklem çarpanlarına ayrılabilir. Yukarıdaki örnekte olduğu gibi, \( x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3) \) şeklinde yazılabilir.