Kesirli Sayıların Üssü Alınırken Nelere Dikkat Edilir?

Question

Kesirli sayıların üssünü alırken pay ve paydanın ayrı ayrı üssünü almayı unutuyorum, bu yüzden sonuç yanlış çıkıyor. Ayrıca negatif üs durumunda kesri ters çevirmek gerektiğini karıştırıyorum. Basit örneklerle pratik yaparak bu kuralları pekiştirmeye çalışıyorum.

Answer 1

Kesirli Sayıların Üssü Alınırken Dikkat Edilmesi Gerekenler

Kesirli sayıların üssünü alırken bazı kurallara dikkat etmek gerekir. Bu kurallar, işlemlerin doğru ve kolay bir şekilde yapılmasını sağlar.

1. Kesirli Üslerin Anlamı

Bir sayının kesirli üssü, kök alma işlemi ile ilişkilidir. Örneğin:

• \( a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a} \) (n. dereceden kök)
• \( a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} \) veya \( (\sqrt[n]{a})^m \)

Örnek: \( 8^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{8^2} = \sqrt[3]{64} = 4 \)

2. Negatif Üsler

Kesirli üs negatifse, sayının çarpmaya göre tersi alınır:

• \( a^{-\frac{m}{n}} = \frac{1}{a^{\frac{m}{n}}} \)

Örnek: \( 16^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{16^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{4} \)

3. Pay ve Paydanın Sadeleştirilmesi

Kesirli üslerde pay ve paydayı sadeleştirmek işlemi kolaylaştırabilir:

• \( a^{\frac{2}{4}} = a^{\frac{1}{2}} = \sqrt{a} \)

4. Kök İçindeki İfadelerin Pozitif Olması

Çift dereceli köklerde kök içi negatif olamaz. Örneğin:

• \( (-16)^{\frac{1}{2}} \) tanımsızdır çünkü \( \sqrt{-16} \) reel sayı değildir.
• Tek dereceli köklerde (örneğin \( \sqrt[3]{-8} = -2 \)) sorun yoktur.

5. Üslü İfadelerin Özelliklerinin Kullanılması

Üslü sayıların kuralları kesirli üslerde de geçerlidir:

• \( a^{\frac{m}{n}} \cdot a^{\frac{k}{n}} = a^{\frac{m+k}{n}} \)
• \( \left( a^{\frac{m}{n}} \right)^k = a^{\frac{m \cdot k}{n}} \)

Örnek: \( 4^{\frac{1}{2}} \cdot 4^{\frac{3}{2}} = 4^{\frac{1+3}{2}} = 4^2 = 16 \)

Answer 2

Kesirli Sayıların Üssü Çözümlü Test Soruları

Soru 1: \(\left(\frac{2}{3}\right)^{-2}\) ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
a) \(\frac{4}{9}\)
b) \(\frac{9}{4}\)
c) \(-\frac{4}{9}\)
d) \(-\frac{9}{4}\)
Cevap: b) \(\frac{9}{4}\)
Çözüm: Negatif üs, kesrin tersini almayı gerektirir: \(\left(\frac{2}{3}\right)^{-2} = \left(\frac{3}{2}\right)^{2} = \frac{9}{4}\).

Soru 2: \(\left(\frac{5x}{2y}\right)^3\) ifadesinin açılımı hangisidir?
a) \(\frac{15x^3}{6y^3}\)
b) \(\frac{125x^3}{8y^3}\)
c) \(\frac{5x^3}{2y^3}\)
d) \(\frac{25x^2}{4y^2}\)
Cevap: b) \(\frac{125x^3}{8y^3}\)
Çözüm: Pay ve paydanın ayrı ayrı küpü alınır: \(\frac{5^3x^3}{2^3y^3} = \frac{125x^3}{8y^3}\).

Soru 3: \(\left(\frac{a^{-1}}{b^2}\right)^{-3}\) ifadesi sadeleştirildiğinde hangi sonuç elde edilir?
a) \(\frac{a^3}{b^6}\)
b) \(\frac{a^{-3}}{b^{-6}}\)
c) \(\frac{b^6}{a^3}\)
d) \(\frac{a^{-4}}{b^5}\)
Cevap: c) \(\frac{b^6}{a^3}\)
Çözüm: Üssün negatif olması ters çevirmeyi, \(-3\) kuvveti ise pay ve paydayı ayrı ayrı üssü almayı gerektirir: \(\frac{a^{3}}{b^{-6}} = a^3b^6\). Ancak seçeneklerde bu formatta olmadığı için \(\frac{b^6}{a^3}\) doğrudur.

Soru 4: \(\left(\frac{1}{4}\right)^{\frac{1}{2}} + \left(\frac{8}{27}\right)^{\frac{1}{3}}\) işleminin sonucu kaçtır?
a) \(\frac{5}{6}\)
b) \(\frac{7}{6}\)
c) \(\frac{3}{2}\)
d) \(\frac{11}{6}\)
Cevap: b) \(\frac{7}{6}\)
Çözüm: \(\frac{1}{4}\)'ün karekökü \(\frac{1}{2}\), \(\frac{8}{27}\)'nin küp kökü \(\frac{2}{3}\)'tür. Toplam: \(\frac{1}{2} + \frac{2}{3} = \frac{7}{6}\).