Kesirli Sayıların Üssü Alınırken Nelere Dikkat Edilir?

Question

Kesirli sayıların üssünü alırken pay ve paydanın ayrı ayrı üssünü almak gerekiyor ama bazen parantezlere dikkat etmeyince hata yapıyorum. Örneğin (2/3)² ile 2/3² farklı sonuç veriyor, bu karıştırıyor beni. Ayrıca negatif üs durumunda kesri ters çevirmek de kafamı karıştırıyor.

Answer 1

Kesirli Sayıların Üssü Alınırken Dikkat Edilmesi Gerekenler

Kesirli sayıların üssünü alırken bazı kurallara dikkat etmek gerekir. Bu kurallar, işlemlerin doğru ve kolay bir şekilde yapılmasını sağlar.

1. Kesirli Üslerin Anlamı

Bir sayının kesirli üssü, kök alma işlemi ile ilişkilidir. Örneğin:

• \( a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a} \) (n. dereceden kök)
• \( a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} \) veya \( (\sqrt[n]{a})^m \)

2. Pay ve Paydanın Rolü

Kesirli üslerde pay (üstteki sayı), kuvvet alma işlemini; payda (alttaki sayı) ise kök derecesini belirtir.

Örneğin, \( 8^{\frac{2}{3}} \) ifadesi şu şekilde hesaplanır:

• Önce küp kök alınır: \( \sqrt[3]{8} = 2 \)
• Sonra karesi alınır: \( 2^2 = 4 \)

3. Negatif Üs Durumu

Kesirli üs negatifse, işlem şu şekilde yapılır:

\( a^{-\frac{m}{n}} = \frac{1}{a^{\frac{m}{n}}} \)

Örneğin, \( 16^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{16}} = \frac{1}{4} \)

4. Sadeleştirme Yapılabilir mi?

Kesirli üslerde pay ve payda sadeleştirilebilir. Bu, kök derecesini ve kuvveti değiştirir:

\( a^{\frac{2}{4}} = a^{\frac{1}{2}} = \sqrt{a} \)

Dikkat: Sadeleştirme yaparken kökün tanımlı olduğundan emin olunmalıdır.

5. Kök İçindeki İfadenin İşareti

• Çift dereceli köklerde (payda çift sayı) kök içi negatif olamaz. Örneğin, \( (-16)^{\frac{1}{2}} \) reel sayılar kümesinde tanımsızdır.
• Tek dereceli köklerde (payda tek sayı) kök içi negatif olabilir. Örneğin, \( (-8)^{\frac{1}{3}} = -2 \).

Answer 2

Kesirli Sayıların Üssü Çözümlü Test Soruları

Soru 1: \(\left(\frac{2}{3}\right)^{-2}\) ifadesinin değeri kaçtır?
a) \(\frac{4}{9}\)
b) \(\frac{9}{4}\)
c) \(-\frac{4}{9}\)
d) \(-\frac{9}{4}\)
Cevap: b) \(\frac{9}{4}\)
Çözüm: Negatif üs, kesrin tersini almayı gerektirir: \(\left(\frac{2}{3}\right)^{-2} = \left(\frac{3}{2}\right)^{2} = \frac{9}{4}\).

Soru 2: \(\left(\frac{1}{5}\right)^3 \times \left(\frac{1}{5}\right)^{-1}\) işleminin sonucu nedir?
a) \(\frac{1}{25}\)
b) \(\frac{1}{125}\)
c) \(\frac{1}{5}\)
d) 25
Cevap: a) \(\frac{1}{25}\)
Çözüm: Üsler toplanır: \(3 + (-1) = 2\). Sonuç: \(\left(\frac{1}{5}\right)^2 = \frac{1}{25}\).

Soru 3: \(\left(\frac{x}{y}\right)^0 + \left(\frac{2}{3}\right)^1\) ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisidir? (x ≠ 0, y ≠ 0)
a) 0
b) 1
c) \(\frac{5}{3}\)
d) \(\frac{2}{3}\)
Cevap: c) \(\frac{5}{3}\)
Çözüm: Sıfırıncı üs 1'e eşittir: \(1 + \frac{2}{3} = \frac{5}{3}\).

Soru 4: \(\left(\frac{a}{b}\right)^{-n}\) ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
a) \(-\left(\frac{a}{b}\right)^n\)
b) \(\left(\frac{b}{a}\right)^n\)
c) \(\frac{a^{-n}}{b^{-n}}\)
d) \(\frac{-a^n}{b^n}\)
Cevap: b) \(\left(\frac{b}{a}\right)^n\)
Çözüm: Negatif üs, kesrin hem pay ve paydasının yer değiştirmesini hem de üssün pozitif olmasını sağlar.