Köklü sayılarda toplama çıkarma çarpma bölme konu anlatımı

Question

Bu konuda köklü sayılarla dört işlem yaparken hangi durumlarda kök içleri aynı olmalı onu tam anlayamadım. Ayrıca çarpma ve bölmede sadeleştirme yaparken bazen kafam karışıyor. Bu temel kuralları netleştirebileceğim basit bir anlatıma ihtiyacım var.

Answer 1

Köklü Sayılarda Temel İşlemler

Köklü sayılarla işlem yapabilmek için öncelikle kök kavramını iyi anlamak gerekir. \( \sqrt[n]{a} \) ifadesi, n. kuvveti a'ya eşit olan sayı demektir. Yani, \( (\sqrt[n]{a})^n = a \) olur. En yaygın kullanılan kök, karekök (\( \sqrt{} \))'tür.

Toplama ve Çıkarma İşlemi

Köklü sayılarda toplama ve çıkarma işlemi yapabilmek için kökün derecesi ve içi aynı olmalıdır. Yalnızca katsayılar toplanır veya çıkarılır, kök kısmı aynen kalır.

Matematiksel olarak ifade edersek:

\( a\sqrt[n]{x} + b\sqrt[n]{x} - c\sqrt[n]{x} = (a + b - c)\sqrt[n]{x} \)

Örnekler:

• \( 5\sqrt{3} + 2\sqrt{3} = (5+2)\sqrt{3} = 7\sqrt{3} \)
• \( 10\sqrt[3]{5} - 4\sqrt[3]{5} = (10-4)\sqrt[3]{5} = 6\sqrt[3]{5} \)
• \( \sqrt{2} + \sqrt{3} \) → Toplanamaz çünkü kök içleri farklıdır.

Dikkat: Eğer kök içleri aynı değilse, önce kök içlerini sadeleştirerek aynı yapmaya çalışırız.

Örnek: \( \sqrt{8} + \sqrt{2} \) işlemini yapalım.

• \( \sqrt{8} = \sqrt{4 \times 2} = \sqrt{4} \times \sqrt{2} = 2\sqrt{2} \)
• Şimdi işlem: \( 2\sqrt{2} + \sqrt{2} = 3\sqrt{2} \)

Çarpma İşlemi

Köklü sayılarda çarpma işlemi, toplamadan farklı olarak daha esnektir. Kök dereceleri aynı ise, kök içleri çarpılır ve aynı kök derecesiyle yazılır.

\( \sqrt[n]{a} \times \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \times b} \)

Kök dereceleri farklı ise, önce kök dereceleri eşitlenir (OKEK alınarak), sonra çarpma yapılır.

Örnekler (Aynı Dereceli):

• \( \sqrt{5} \times \sqrt{3} = \sqrt{5 \times 3} = \sqrt{15} \)
• \( 2\sqrt{6} \times 3\sqrt{2} = (2 \times 3) \times \sqrt{6 \times 2} = 6\sqrt{12} \)
• \( 6\sqrt{12} \) sadeleştirilebilir: \( 6\sqrt{4 \times 3} = 6 \times 2\sqrt{3} = 12\sqrt{3} \)

Örnek (Farklı Dereceli): \( \sqrt{2} \times \sqrt[3]{4} \)

• Dereceler 2 ve 3. OKEK'leri 6'dır.
• \( \sqrt{2} = \sqrt[6]{2^3} = \sqrt[6]{8} \)
• \( \sqrt[3]{4} = \sqrt[3]{2^2} = \sqrt[6]{(2^2)^2} = \sqrt[6]{2^4} = \sqrt[6]{16} \)
• Çarpım: \( \sqrt[6]{8} \times \sqrt[6]{16} = \sqrt[6]{8 \times 16} = \sqrt[6]{128} \)
• \( \sqrt[6]{128} = \sqrt[6]{2^7} = 2\sqrt[6]{2} \) (Çünkü \( 2^7 = 2^6 \times 2^1 \))

Bölme İşlemi

Bölme işlemi, çarpma işlemine benzer. Kök dereceleri aynı ise, kök içleri bölünür ve aynı kök derecesiyle yazılır.

\( \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}} \)

Kök dereceleri farklı ise, çarpmada olduğu gibi önce dereceler eşitlenir.

Örnekler (Aynı Dereceli):

• \( \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{15}{3}} = \sqrt{5} \)
• \( \frac{6\sqrt{10}}{2\sqrt{5}} = \frac{6}{2} \times \sqrt{\frac{10}{5}} = 3 \times \sqrt{2} = 3\sqrt{2} \)

Paydanın Köklü Olmaması (Rasyonel Yapma): Bir kesrin paydası köklü bir ifade ise, genellikle bu kökten kurtulmak isteriz. Buna paydayı rasyonel yapmak denir.

• Payda \( \sqrt{a} \) ise: Kesri \( \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}} \) ile çarparız.

  \( \frac{3}{\sqrt{5}} = \frac{3}{\sqrt{5}} \times \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{3\sqrt{5}}{5} \)

• Payda \( a + \sqrt{b} \) gibi iki terimli ise: eşlenik ile çarparız. Eşlenik, aradaki işaretin tersidir (\( a - \sqrt{b} \)).

  \( \frac{4}{2 + \sqrt{3}} = \frac{4}{(2 + \sqrt{3})} \times \frac{(2 - \sqrt{3})}{(2 - \sqrt{3})} = \frac{4(2 - \sqrt{3})}{4 - 3} = \frac{8 - 4\sqrt{3}}{1} = 8 - 4\sqrt{3} \)

  (Not: \( (2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3}) = 2^2 - (\sqrt{3})^2 = 4 - 3 = 1 \) olduğuna dikkat edin.)

Özetle:

• Toplama/Çıkarma: Kökler aynı olmalı. Katsayılar işleme girer.
• Çarpma: Kök içleri çarpılır. Dereceler farklıysa eşitlenir.
• Bölme: Kök içleri bölünür. Payda köklü ise rasyonel yapılır.

Answer 2

Köklü Sayılar Çözümlü Test Soruları

Soru 1: \( \sqrt{12} + \sqrt{27} - \sqrt{75} \) işleminin sonucu kaçtır?
a) 0   b) \( \sqrt{3} \)   c) \( 2\sqrt{3} \)   d) \( 3\sqrt{3} \)   e) \( 4\sqrt{3} \)
Cevap: a) 0
Çözüm: Köklü sayıları sadeleştirelim: \( \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \), \( \sqrt{27} = 3\sqrt{3} \), \( \sqrt{75} = 5\sqrt{3} \). İşlem: \( 2\sqrt{3} + 3\sqrt{3} - 5\sqrt{3} = 0 \)

Soru 2: \( \sqrt{8} \cdot \sqrt{18} \div \sqrt{12} \) işleminin sonucu kaçtır?
a) \( \sqrt{3} \)   b) \( 2\sqrt{3} \)   c) \( 3 \)   d) \( 2\sqrt{6} \)   e) \( 6 \)
Cevap: c) 3
Çözüm: Kök içinde çarpma ve bölme yapalım: \( \sqrt{\frac{8 \cdot 18}{12}} = \sqrt{\frac{144}{12}} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \)

Soru 3: \( (\sqrt{5} + \sqrt{3}) \cdot (\sqrt{5} - \sqrt{3}) \) işleminin sonucu kaçtır?
a) 2   b) 3   c) 4   d) 5   e) 6
Cevap: a) 2
Çözüm: İki kare farkı özdeşliğini uygulayalım: \( (\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2 = 5 - 3 = 2 \)

Soru 4: \( \frac{\sqrt{50} + \sqrt{18}}{\sqrt{2}} \) işleminin sonucu kaçtır?
a) 4   b) 6   c) 8   d) 10   e) 12
Cevap: c) 8
Çözüm: Paydaki ifadeleri sadeleştirelim: \( \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \), \( \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \). İşlem: \( \frac{5\sqrt{2} + 3\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{8\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 8 \)