Sayı aralıkları konu anlatımı 9. sınıf yeni müfredat

Question

Bu konuyu anlamakta biraz zorlanıyorum. Özellikle eşitsizliklerle aralık gösteriminin nasıl bağdaştığını tam olarak kuramadım. Bir de hangi durumda parantez, hangi durumda köşeli parantez kullanacağımız konusu kafamı karıştırıyor.

Answer 1

Sayı Aralıkları

Sayı aralıkları, sayı doğrusu üzerinde belirli bir başlangıç ve bitiş noktası olan bölgeleri ifade etmek için kullandığımız bir gösterim şeklidir. Hangi sayıların dahil olduğunu, hangilerinin dahil olmadığını net bir şekilde anlatmamızı sağlar.

Aralık Çeşitleri

Sayı aralıklarını, uç noktaların aralığa dahil olup olmamasına göre dört ana başlıkta inceleyebiliriz:

• Kapalı Aralık: Her iki uç noktanın da aralığa dahil olduğu durumdur. Matematiksel olarak a ≤ x ≤ b şeklinde ifade edilir. Bu, "x, a'ya eşit veya a'dan büyük, aynı zamanda b'ye eşit veya b'den küçüktür" anlamına gelir. Gösterimde köşeli parantez [ ] kullanılır: [a, b].

  Örnek: [2, 5] aralığı, 2 ve 5 dahil olmak üzere aralarındaki tüm sayıları (2, 3, 4, 5) kapsar.

• Açık Aralık: Hiçbir uç noktanın aralığa dahil olmadığı durumdur. Matematiksel olarak a < x < b şeklinde ifade edilir. Bu, "x, a'dan büyük ve b'den küçüktür" anlamına gelir. Gösterimde yuvarlak parantez ( ) kullanılır: (a, b).

  Örnek: (2, 5) aralığı, 2 ve 5 hariç olmak üzere aralarındaki tüm sayıları (3, 4) kapsar.

• Yarı Açık Aralık: Bir uç noktanın dahil olduğu, diğerinin dahil olmadığı aralıklardır. İki çeşidi vardır:
  • Soldan Açık, Sağdan Kapalı: Başlangıç noktası (a) dahil değil, bitiş noktası (b) dahildir. a < x ≤ b şeklinde yazılır ve (a, b] ile gösterilir.
  • Soldan Kapalı, Sağdan Açık: Başlangıç noktası (a) dahil, bitiş noktası (b) dahil değildir. a ≤ x < b şeklinde yazılır ve [a, b) ile gösterilir.

  Örnek: [2, 5) aralığı, 2 dahil, 5 hariç olmak üzere aradaki tüm sayıları (2, 3, 4) kapsar.

Sonsuz Aralıklar

Bazen bir aralığın bir ucu sonsuza kadar gidebilir. Bu durumda sonsuzluk (\( \infty \)) veya eksi sonsuzluk (\( -\infty \)) sembollerini kullanırız. Sonsuzluk bir sayı olmadığı için, onu içeren taraf her zaman açık aralık (yuvarlak parantez) olarak yazılır.

• [a, ∞) → x ≥ a (a ve a'dan büyük tüm sayılar)
• (a, ∞) → x > a (a'dan büyük tüm sayılar)
• (-∞, b] → x ≤ b (b ve b'den küçük tüm sayılar)
• (-∞, b) → x < b (b'den küçük tüm sayılar)
• (-∞, ∞) → Tüm reel sayılar (\( \mathbb{R} \))

Örnek: (-∞, 4] aralığı, 4 ve 4'ten küçük tüm reel sayıları ifade eder.

Sayı Doğrusunda Gösterim

Sayı aralıklarını sayı doğrusu üzerinde göstermek çok yaygın bir yöntemdir:

• Dahil olan nokta (≤ veya ≥): Noktanın üzeri içi dolu bir daire ile belirtilir.
• Dahil olmayan nokta (< veya >): Noktanın üzeri içi boş bir daire ile belirtilir.
• Aralık: Aralığın kapsadığı bölge, dairelerin üzerinden geçen kalın bir çizgi ile gösterilir.

Örneğin, (1, 4] aralığı sayı doğrusunda 1 noktasında içi boş, 4 noktasında içi dolu bir daire ve bu iki nokta arasında kalın bir çizgi ile temsil edilir.

Answer 2

Sayı Aralıkları Çözümlü Test Soruları

Soru 1: Bir okulda düzenlenen bilgi yarışmasına katılan öğrencilerin yaşları 14 ile 18 arasındadır ve 18 yaşında olanlar da yarışmaya katılabilmektedir. Buna göre, yarışmaya katılan bir öğrencinin yaşı \( x \) olmak üzere, \( x \)'in ait olduğu sayı aralığının matematiksel gösterimi aşağıdakilerden hangisidir?
a) \( (14, 18] \)
b) \( [14, 18) \)
c) \( [14, 18] \)
d) \( (14, 18) \)
e) \( [14, \infty) \)
Cevap: c) \( [14, 18] \)
Çözüm: Yaşlar 14'ten başladığı ve 14 yaşında olanlar da katılabildiği için sol taraf kapalıdır (\([14\)). Ayrıca 18 yaşında olanlar da katılabildiği için sağ taraf da kapalıdır (\(18]\)). Bu nedenle doğru gösterim \( [14, 18] \) şeklindedir.

Soru 2: Bir marketteki paketli bir ürünün gramajı, üzerinde yazan 500 gram ağırlığından en fazla 10 gram fazla veya en fazla 5 gram eksik olabilmektedir. Bu ürünün gerçek ağırlığına \( x \) gram dersek, \( x \)'in değer aralığını ifade eden eşitsizlik aşağıdakilerden hangisidir?
a) \( |x - 500| \leq 10 \)
b) \( |x - 500| < 5 \)
c) \( |x - 495| \leq 10 \)
d) \( |x - 500| \leq 5 \)
e) \( 495 \leq x \leq 510 \)
Cevap: e) \( 495 \leq x \leq 510 \)
Çözüm: Ürün en fazla 10 gram fazla (\(500 + 10 = 510\)) veya en fazla 5 gram eksik (\(500 - 5 = 495\)) olabilir. 495 gram sınıra dahil olduğu için eşitsizlik \( 495 \leq x \leq 510 \) şeklinde yazılır. Mutlak değerli ifadelerden a) seçeneği 5 gram eksikliğe izin vermez, d) seçeneği ise 10 gram fazlalığa izin vermez.

Soru 3: \( A = \{x \ | \ -2 < x \leq 4, \ x \in \mathbb{R}\} \) ve \( B = \{x \ | \ 1 \leq x < 6, \ x \in \mathbb{R}\} \) kümeleri veriliyor. Buna göre, \( A \cap B \) kümesinin sayı doğrusunda gösterimi aşağıdakilerden hangisidir?
a) \( [1, 4] \)
b) \( [1, 4) \)
c) \( (1, 4] \)
d) \( (-2, 6) \)
e) \( (1, 6) \)
Cevap: b) \( [1, 4) \)
Çözüm: \( A \cap B \) kümesi, her iki kümede de bulunan ortak elemanlardan oluşur. A kümesi -2'den büyük 4'e kadar (4 dahil), B kümesi ise 1'den (1 dahil) 6'ya kadar olan sayıları içerir. Ortak elemanlar 1'den (B'de dahil, A'da -2