Toplamın ve farkın türevi

Question

Bu konuyu anlamakta biraz zorlanıyorum. Toplamın türevini alırken her bir fonksiyonun türevini ayrı ayrı alıyoruz ama bunun neden böyle olduğunu tam olarak kavrayamadım. Farkın türevinde de aynı kuralın geçerli olması kafamı karıştırıyor, sanki bir yerlerde hata yapıyormuşum gibi hissediyorum.

Answer 1

📚 Türev Alma Kuralları

Matematikte, özellikle türev konusunda, fonksiyonların toplamı veya farkının türevini almak için çok basit ve kullanışlı kurallar vardır. Bu kurallar sayesinde karmaşık görünen fonksiyonların türevlerini kolayca alabiliriz.

🎯 Toplamın Türevi Kuralı

İki veya daha fazla fonksiyonun toplamının türevi, bu fonksiyonların ayrı ayrı türevlerinin toplamına eşittir.

Eğer \( f(x) \) ve \( g(x) \) türevlenebilir fonksiyonlarsa, bu fonksiyonların toplamı olan \( h(x) = f(x) + g(x) \) fonksiyonunun türevi:

\( h'(x) = [f(x) + g(x)]' = f'(x) + g'(x) \)

✅ Kural: Toplamın türevi, türevlerin toplamıdır.

🧮 Örnek:

\( f(x) = x^2 + 3x \) fonksiyonunun türevini bulalım.

• ➡️ Fonksiyonu, \( x^2 \) ve \( 3x \) fonksiyonlarının toplamı olarak düşünebiliriz.
• ➡️ \( (x^2)' = 2x \)
• ➡️ \( (3x)' = 3 \)
• ➡️ Sonuç: \( f'(x) = 2x + 3 \)

🎯 Farkın Türevi Kuralı

İki fonksiyonun farkının türevi, bu fonksiyonların ayrı ayrı türevlerinin farkına eşittir.

Eğer \( f(x) \) ve \( g(x) \) türevlenebilir fonksiyonlarsa, bu fonksiyonların farkı olan \( k(x) = f(x) - g(x) \) fonksiyonunun türevi:

\( k'(x) = [f(x) - g(x)]' = f'(x) - g'(x) \)

✅ Kural: Farkın türevi, türevlerin farkıdır.

🧮 Örnek:

\( g(x) = 5x^3 - 2x \) fonksiyonunun türevini bulalım.

• ➡️ Fonksiyonu, \( 5x^3 \) ve \( 2x \) fonksiyonlarının farkı olarak düşünebiliriz.
• ➡️ \( (5x^3)' = 15x^2 \)
• ➡️ \( (2x)' = 2 \)
• ➡️ Sonuç: \( g'(x) = 15x^2 - 2 \)

💡 Genel Kural ve Özet

Bu kurallar ikiden fazla fonksiyon için de geçerlidir. Toplam veya fark şeklinde yazılabilen her fonksiyonun türevini, fonksiyonu oluşturan parçaların türevlerini alarak ve aradaki işaretleri (artı/eksi) koruyarak hesaplayabiliriz.

📌 Önemli Not: Bu kurallar sadece toplama ve çıkarma işlemleri için geçerlidir. Çarpım veya bölüm şeklindeki fonksiyonlar için farklı türev kuralları (Çarpım Kuralı, Bölüm Kuralı) kullanılır.

🧠 Alıştırma Sorusu

Aşağıdaki fonksiyonun türevini bulun:

\( y = 4x^4 - 2x^2 + 7x - 5 \)

• 💡 İpucu: Her terimin türevini ayrı ayrı alın ve işaretleri koruyun.