Bu ders notumuzda, üsleri aynı olan üslü denklemlerin nasıl çözüleceğini adım adım öğreneceğiz. Bu tür denklemler, üslü sayılar konusunun temel ve en önemli uygulamalarından biridir.
Üsleri aynı olan iki üslü ifade birbirine eşitse, bu durumda tabanlar da eşit olmak zorundadır (üs sıfır olmadığı ve tabanlar özel durum oluşturmadığı sürece).
Matematiksel olarak ifade edersek:
\( a^x = b^x \quad \Rightarrow \quad a = b \) (Burada \( x \neq 0 \) ve \( a, b > 0 \), \( a, b \neq 1 \) olmalıdır).
Bu kural, denklemin çözümü için en kritik adımdır.
Bu tür denklemleri çözmek için izlenecek sistematik yol:
Denklem: \( (2k-1)^{5} = (k+11)^{5} \)
Çözüm: Üsler aynı (5) ve sıfır değil. O halde tabanlar eşit olmalıdır.
\( 2k - 1 = k + 11 \)
\( 2k - k = 11 + 1 \)
\( k = 12 \)
Çözüm Kümesi: \( \{ 12 \} \)
Denklem: \( (3x-4)^{x^2-5} = (x+2)^{x^2-5} \)
Çözüm: Üsler aynı (\( x^2-5 \)). Bu üssün sıfır olmama şartını da göz önünde bulundurmalıyız.
Durum 1: Üs \( \neq 0 \) ise tabanlar eşitlenir.
\( 3x - 4 = x + 2 \)
\( 2x = 6 \)
\( x = 3 \)
Bu değer için üs: \( 3^2 - 5 = 4 \neq 0 \). Geçerli.
Durum 2: Üs \( = 0 \) ise, tabanlar ne olursa olsun (tanımlı oldukları sürece) eşitlik sağlanır. Çünkü \( a^0 = 1 \) ve \( b^0 = 1 \)'dir.
\( x^2 - 5 = 0 \)
\( x^2 = 5 \)
\( x = \sqrt{5} \) veya \( x = -\sqrt{5} \)
Bu değerler için tabanların tanımlı ve sıfırdan farklı olduğunu kontrol etmeliyiz. Her iki değer için de tabanlar sıfır olmaz. Geçerli.
Çözüm Kümesi: \( \{ 3, \sqrt{5}, -\sqrt{5} \} \)
Üsleri aynı olan denklemlerde temel mantık, üslerin eşitliğinden tabanların eşitliğine gitmektir. Ancak, üssün sıfır olması ve tabanların özel değerler (1, -1, 0) alması gibi istisnai durumları her zaman kontrol etmek, çözüm kümesinin eksiksiz olmasını sağlayacaktır. Bu konu, üslü ifadelerdeki hakimiyetinizi güçlendirecek önemli bir basamaktır.
