Bazı (∃) niceleyicisi (Varlıksal niceleyici) Test 2

Bir apartmandaki daireler için "∃x, x'in numarası 13'tür" önermesi yanlışsa aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

A) Tüm dairelerin numarası 13'tür
B) Hiçbir dairenin numarası 13 değildir
C) Bazı dairelerin numarası 13'tür
D) Sadece bir dairenin numarası 13 değildir

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda, mantık konusundaki temel bilgilerinizi kullanarak bir önermenin yanlış olmasının ne anlama geldiğini ve bunun sonucunda hangi ifadenin kesinlikle doğru olacağını bulacağız. Adım adım ilerleyelim:

• 1. Verilen Önermeyi Anlayalım:

  Soruda verilen önerme "$\exists x$, $x$'in numarası 13'tür". Bu önerme, niceleyici mantıkta "En az bir $x$ vardır ki, $x$'in numarası 13'tür" anlamına gelir. Daha basit bir ifadeyle, "Apartmanda numarası 13 olan en az bir daire vardır" demektir.

• 2. Önermenin Yanlış Olması Ne Demektir?

  Bize bu önermenin yanlış olduğu söyleniyor. Yani, "Apartmanda numarası 13 olan en az bir daire vardır" ifadesi doğru değil. Bir şeyin doğru olmaması, onun yanlış olduğu anlamına gelir. O halde, "Apartmanda numarası 13 olan en az bir daire vardır" ifadesi yanlışsa, bunun tam tersi doğru olmalıdır.

• 3. Önermenin Tersi (Değili) Nedir?

  "En az bir $x$ vardır ki P(x) doğrudur" önermesinin değili (tersi), "Hiçbir $x$ için P(x) doğru değildir" veya "Tüm $x$'ler için P(x) yanlıştır" şeklindedir. Matematiksel olarak, $(\exists x, P(x))'$ önermesinin değili $(\forall x, \neg P(x))$ şeklindedir.

  Bu durumda, "Apartmanda numarası 13 olan en az bir daire vardır" önermesinin değili şudur: "Apartmanda numarası 13 olan hiçbir daire yoktur." veya "Tüm dairelerin numarası 13 değildir."

• 4. Seçenekleri Değerlendirelim:
  • A) Tüm dairelerin numarası 13'tür: Eğer tüm dairelerin numarası 13 olsaydı, o zaman "numarası 13 olan en az bir daire vardır" önermesi doğru olurdu. Ancak bize bu önermenin yanlış olduğu söyleniyor. Bu yüzden A seçeneği kesinlikle doğru olamaz.
  • B) Hiçbir dairenin numarası 13 değildir: Bu ifade, bizim "Apartmanda numarası 13 olan en az bir daire vardır" önermesinin yanlış olmasından çıkardığımız sonuçla birebir aynıdır. Eğer hiçbir dairenin numarası 13 değilse, o zaman numarası 13 olan bir dairenin var olduğu iddiası kesinlikle yanlış olur. Bu yüzden B seçeneği kesinlikle doğrudur.
  • C) Bazı dairelerin numarası 13'tür: Bu ifade, aslında soruda verilen "$\exists x$, $x$'in numarası 13'tür" önermesiyle aynı anlama gelir. Bize bu önermenin yanlış olduğu verildiği için, C seçeneği de kesinlikle doğru olamaz.
  • D) Sadece bir dairenin numarası 13 değildir: Bu ifade, diğer tüm dairelerin numarasının 13 olduğu anlamına gelir. Eğer diğer tüm dairelerin numarası 13 olsaydı, o zaman "numarası 13 olan en az bir daire vardır" önermesi doğru olurdu. Ancak bize bu önermenin yanlış olduğu söyleniyor. Bu yüzden D seçeneği kesinlikle doğru olamaz.

Sonuç olarak, "Apartmanda numarası 13 olan en az bir daire vardır" önermesi yanlışsa, bunun tek mantıksal sonucu "Apartmanda numarası 13 olan hiçbir daire yoktur" ifadesinin doğru olmasıdır.

Cevap B seçeneğidir.