Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, bir bilgisayarın depolama biriminin büyüklüğünü farklı bir tabanda ifade etmemiz isteniyor. Yani, $8^5$ KB büyüklüğündeki bir depolama birimini $2^x$ KB şeklinde yazdığımızda, $x$ değerinin kaç olduğunu bulacağız. Bu tür soruları çözerken, üslü sayıların özelliklerini çok iyi bilmek bize büyük kolaylık sağlar.
- Adım 1: Temel Sayıyı Tanıma ve Dönüştürme
- Öncelikle, bize verilen depolama biriminin büyüklüğü $8^5$ KB olarak ifade edilmiş. Bizden bu ifadeyi $2$ tabanında yazmamız isteniyor. Bunun için, $8$ sayısının $2$ tabanında nasıl yazılabileceğini düşünelim.
- $8$ sayısı, $2$'nin kaçıncı kuvvetidir? $2 \times 2 \times 2 = 8$ olduğundan, $8$ sayısını $2^3$ şeklinde yazabiliriz. Yani, $8 = 2^3$.
- Adım 2: İfadeyi Yeniden Yazma
- Şimdi, $8^5$ ifadesindeki $8$ yerine $2^3$ yazalım.
- Bu durumda, $8^5$ ifadesi $(2^3)^5$ şeklini alır.
- Adım 3: Üslü Sayıların Kuralını Uygulama
- Üslü sayılarda önemli bir kural vardır: Bir üslü sayının tekrar üssü alındığında, taban aynı kalır ve üsler çarpılır. Bu kuralı matematiksel olarak $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ şeklinde ifade ederiz.
- Bizim ifademiz $(2^3)^5$ olduğuna göre, bu kuralı uygulayabiliriz. Burada $a=2$, $m=3$ ve $n=5$'tir.
- Adım 4: Üsleri Çarpma
- Şimdi üsleri çarpalım: $3 \times 5 = 15$.
- Böylece, $(2^3)^5$ ifadesi $2^{15}$ olarak bulunur.
- Adım 5: $x$ Değerini Bulma
- Soruda bize depolama biriminin $2^x$ KB olduğu söylenmişti. Biz de $8^5$ KB ifadesini $2^{15}$ KB olarak bulduk.
- Bu iki ifadeyi karşılaştırdığımızda, $2^x = 2^{15}$ eşitliğinden $x$ değerinin $15$ olduğunu kolayca görebiliriz.
Bu adımları takip ederek, $8^5$ KB büyüklüğündeki bir depolama biriminin $2^{15}$ KB olduğunu ve dolayısıyla $x$ değerinin $15$ olduğunu bulduk.
Cevap B seçeneğidir.
