Bu problemde, bir bakteri kolonisinin başlangıçtaki sayısını ve her saat ne kadar katına çıktığını biliyoruz. Bizden 2 saat sonraki bakteri sayısını $2$ tabanında bulmamız isteniyor. Adım adım ilerleyelim:
- 1. Adım: Başlangıçtaki Bakteri Sayısını $2$ Tabanında Yazalım.
- Başlangıçtaki bakteri sayısı $16^3$'tür. Sayıları $2$ tabanına dönüştürmek için $16$'yı $2$'nin kuvveti olarak ifade edelim:
- $16 = 2^4$
- Şimdi bu değeri başlangıçtaki sayıya yerine koyalım:
- $16^3 = (2^4)^3$
- Üslü sayılarda kuvvetin kuvveti alınırken üsler çarpılır. Yani $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ kuralını uygulayalım:
- $(2^4)^3 = 2^{4 \cdot 3} = 2^{12}$
- Demek ki başlangıçtaki bakteri sayısı $2^{12}$'dir.
- 2. Adım: Bakteri Kolonisinin Büyüme Oranını $2$ Tabanında Yazalım.
- Koloni her saat $4^2$ katına çıkmaktadır. Bu büyüme oranını da $2$ tabanında ifade edelim:
- $4 = 2^2$
- Şimdi bu değeri büyüme oranına yerine koyalım:
- $4^2 = (2^2)^2$
- Yine kuvvetin kuvveti kuralını uygulayalım:
- $(2^2)^2 = 2^{2 \cdot 2} = 2^4$
- Yani koloni her saat $2^4$ katına çıkmaktadır.
- 3. Adım: 1 Saat Sonraki Bakteri Sayısını Bulalım.
- Başlangıçtaki bakteri sayısı $2^{12}$ idi ve her saat $2^4$ katına çıkıyor. 1 saat sonraki sayıyı bulmak için başlangıç sayısını büyüme oranıyla çarparız:
- $2^{12} \times 2^4$
- Üslü sayılarda tabanlar aynıysa çarpma işleminde üsler toplanır. Yani $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ kuralını uygulayalım:
- $2^{12} \times 2^4 = 2^{12+4} = 2^{16}$
- 1 saat sonraki bakteri sayısı $2^{16}$ olur.
- 4. Adım: 2 Saat Sonraki Bakteri Sayısını Bulalım.
- 1 saat sonraki bakteri sayısı $2^{16}$ idi ve koloni 2. saatte de yine $2^4$ katına çıkacak. Yani 1. saatin sonundaki sayıyı tekrar büyüme oranıyla çarparız:
- $2^{16} \times 2^4$
- Yine üsleri toplama kuralını uygulayalım:
- $2^{16} \times 2^4 = 2^{16+4} = 2^{20}$
- Böylece 2 saat sonraki bakteri sayısı $2^{20}$ olarak bulunur.
- 5. Adım: Sonucu Kontrol Edelim.
- Soru bizden 2 saat sonraki bakteri sayısının $2$ tabanında yazılmış halini istiyordu. Biz de sonucu $2^{20}$ olarak $2$ tabanında bulduk.
Cevap C seçeneğidir.
