Aşağıdaki işlemlerden hangisinin sonucu $1$ değildir?
A) $\frac{5^2 \cdot (2^3)^2}{2^6}$
B) $(\frac{3^4}{3^2})^2 \cdot 3^{-4}$
C) $(7^{-1} \cdot 7^3) \cdot 7^{-2}$
D) $( (2^2)^3 \cdot 2^{-5} )^0$
Merhaba sevgili öğrenciler! Bu soruda, üslü ifadelerle ilgili temel kuralları kullanarak verilen işlemlerin sonuçlarını bulacağız. Amacımız, sonucu $1$ olmayan seçeneği belirlemek. Üslü ifadelerde bilmemiz gereken bazı önemli kurallar şunlardır:
- Üssün Üssü Kuralı: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$
- Çarpma Kuralı: Tabanları aynı olan üslü ifadeler çarpılırken üsler toplanır: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$
- Bölme Kuralı: Tabanları aynı olan üslü ifadeler bölünürken payın üssünden paydanın üssü çıkarılır: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$
- Sıfırıncı Kuvvet Kuralı: Sıfır hariç her sayının $0.$ kuvveti $1$'e eşittir: $a^0 = 1$ (burada $a \neq 0$)
Şimdi her bir seçeneği adım adım inceleyelim:
- A) $\frac{5^2 \cdot (2^3)^2}{2^6}$
- Öncelikle parantez içindeki üslü ifadeyi düzenleyelim: $(2^3)^2$. Üssün üssü kuralını kullanarak $2^{3 \cdot 2} = 2^6$ elde ederiz.
- Şimdi ifadeyi yerine yazalım: $\frac{5^2 \cdot 2^6}{2^6}$.
- Pay ve paydada bulunan $2^6$ ifadeleri birbirini götürür (çünkü $\frac{2^6}{2^6} = 1$).
- Geriye $5^2$ kalır. $5^2 = 5 \cdot 5 = 25$.
- Bu seçeneğin sonucu $25$'tir. $25 \neq 1$.
- B) $(\frac{3^4}{3^2})^2 \cdot 3^{-4}$
- Önce parantez içindeki bölme işlemini yapalım: $\frac{3^4}{3^2}$. Bölme kuralına göre $3^{4-2} = 3^2$ olur.
- Şimdi bu sonucu kare alalım: $(3^2)^2$. Üssün üssü kuralına göre $3^{2 \cdot 2} = 3^4$ olur.
- Son olarak bu ifadeyi $3^{-4}$ ile çarpalım: $3^4 \cdot 3^{-4}$. Çarpma kuralına göre üsleri toplarız: $3^{4 + (-4)} = 3^{4-4} = 3^0$.
- Sıfırıncı kuvvet kuralına göre $3^0 = 1$.
- Bu seçeneğin sonucu $1$'dir.
- C) $(7^{-1} \cdot 7^3) \cdot 7^{-2}$
- Önce parantez içindeki çarpma işlemini yapalım: $7^{-1} \cdot 7^3$. Çarpma kuralına göre üsleri toplarız: $7^{-1+3} = 7^2$.
- Şimdi bu sonucu $7^{-2}$ ile çarpalım: $7^2 \cdot 7^{-2}$. Çarpma kuralına göre üsleri toplarız: $7^{2 + (-2)} = 7^{2-2} = 7^0$.
- Sıfırıncı kuvvet kuralına göre $7^0 = 1$.
- Bu seçeneğin sonucu $1$'dir.
- D) $( (2^2)^3 \cdot 2^{-5} )^0$
- Bu seçenekte, parantez içindeki ifadenin tamamının $0.$ kuvveti alınmıştır.
- Sıfırıncı kuvvet kuralına göre, sıfır hariç herhangi bir sayının $0.$ kuvveti $1$'e eşittir.
- Parantez içindeki ifadeyi hesaplamaya gerek bile yoktur, çünkü $ (2^2)^3 \cdot 2^{-5} $ kesinlikle sıfır değildir. (İsterseniz hesaplayalım: $(2^2)^3 = 2^6$, $2^6 \cdot 2^{-5} = 2^{6-5} = 2^1 = 2$. Yani $(2)^0 = 1$ olur.)
- Bu seçeneğin sonucu $1$'dir.
Gördüğümüz gibi, A seçeneğinin sonucu $25$ iken, B, C ve D seçeneklerinin sonuçları $1$'dir. Soru bizden sonucu $1$ olmayan seçeneği bulmamızı istediği için doğru cevap A seçeneğidir.
Cevap A seçeneğidir.
