Üslü İfadelerde Sadeleştirme Nasıl Yapılır? Test 1

Bir terazi üzerinde, sol kefede $2^5 \cdot 4^2$ gram ağırlık bulunmaktadır. Terazinin dengede olması için sağ kefeye $8^x$ gram ağırlık konulması gerekmektedir. Buna göre $x$ değeri kaçtır?

A) 2
B) 3
C) 4
D) 5

Merhaba sevgili öğrenciler! Bu problemde, terazi dengesi ve üslü sayılar bilgilerimizi kullanarak bilinmeyen bir değeri bulacağız. Adım adım ilerleyelim ve bu soruyu kolayca çözelim.

• 1. Adım: Soruyu Anlayalım ve Hedefimizi Belirleyelim

  Bir terazi dengede ise, sol kefedeki ağırlık ile sağ kefedeki ağırlık birbirine eşit olmalıdır. Sol kefede $2^5 \cdot 4^2$ gram, sağ kefede ise $8^x$ gram ağırlık var. Bizden istenen, bu eşitliği sağlayacak olan $x$ değerini bulmaktır.

• 2. Adım: Sol Kefedeki Ağırlığı Tek Bir Taban ve Üs Şeklinde Yazalım

  Sol kefedeki ağırlık $2^5 \cdot 4^2$ gramdır. Üslü sayılarda çarpma işlemi yapabilmek için tabanların aynı olması işimizi kolaylaştırır. Bu yüzden $4$ sayısını $2$'nin bir kuvveti olarak yazalım:

  • $4 = 2^2$ olduğunu biliyoruz.

  Şimdi bu bilgiyi sol kefedeki ağırlık ifadesinde yerine koyalım:

  • $2^5 \cdot (2^2)^2$

  Üssün üssü kuralını hatırlayalım: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$. Bu kuralı $(2^2)^2$ ifadesine uygulayalım:

  • $(2^2)^2 = 2^{2 \cdot 2} = 2^4$

  Şimdi sol kefedeki ağırlık ifadesi şu hale geldi:

  • $2^5 \cdot 2^4$

  Tabanları aynı olan üslü sayıları çarparken üsleri toplarız: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. Bu kuralı uygulayalım:

  • $2^5 \cdot 2^4 = 2^{5+4} = 2^9$

  Yani, sol kefedeki toplam ağırlık $2^9$ gramdır.

• 3. Adım: Sağ Kefedeki Ağırlığı da Aynı Taban (2) Şeklinde Yazalım

  Sağ kefedeki ağırlık $8^x$ gramdır. Sol kefedeki ağırlığı $2$ tabanında yazdığımız için, sağ kefedeki ağırlığı da $2$ tabanında yazmaya çalışalım:

  • $8 = 2^3$ olduğunu biliyoruz.

  Şimdi bu bilgiyi sağ kefedeki ağırlık ifadesinde yerine koyalım:

  • $(2^3)^x$

  Yine üssün üssü kuralını uygulayalım: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$

  • $(2^3)^x = 2^{3 \cdot x} = 2^{3x}$

  Yani, sağ kefedeki ağırlık $2^{3x}$ gramdır.

• 4. Adım: Denklemi Kuralım ve $x$ Değerini Bulalım

  Terazi dengede olduğuna göre, sol kefedeki ağırlık sağ kefedeki ağırlığa eşit olmalıdır:

  • $2^9 = 2^{3x}$

  Eğer iki üslü sayının tabanları eşitse ve bu sayılar birbirine eşitse, o zaman üsleri de birbirine eşit olmalıdır. Bu durumda:

  • $9 = 3x$

  $x$ değerini bulmak için denklemin her iki tarafını $3$'e bölelim:

  • $x = \frac{9}{3}$
  • $x = 3$

• 5. Adım: Sonucu Kontrol Edelim

  Bulduğumuz $x=3$ değerini sağ kefedeki ağırlık ifadesine koyarsak: $8^3$.

  $8^3 = 8 \cdot 8 \cdot 8 = 64 \cdot 8 = 512$.

  Sol kefedeki ağırlık $2^9 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 512$.

  Gördüğümüz gibi, sol kefe ($512$ gram) ve sağ kefe ($512$ gram) birbirine eşit oldu. Demek ki $x=3$ doğru cevaptır.

Cevap B seçeneğidir.