Eksenleri kestiği noktaları bilinen parabol denklemi Test 2

Bir parabol x eksenini (-2, 0) ve (4, 0) noktalarında kesmektedir. Parabolün y eksenini kestiği noktanın ordinatı -8 olduğuna göre denklem aşağıdakilerden hangisidir?

A) y = x² - 2x - 8
B) y = -x² + 2x + 8
C) y = x² + 2x - 8
D) y = -x² - 2x + 8

Sevgili öğrenciler, bu soruda bir parabolün denklemini bulmamız isteniyor. Parabolün x eksenini kestiği noktalar (kökler) ve y eksenini kestiği nokta bilgileri verilmiş. Bu bilgileri kullanarak adım adım denklemi oluşturalım.

• Adım 1: Kökleri Kullanarak Parabol Denkleminin Genel Formunu Yazma

  Bir parabolün x eksenini kestiği noktalar (kökler) bilindiğinde, denklemi genellikle $y = a(x - x_1)(x - x_2)$ şeklinde yazabiliriz. Burada $x_1$ ve $x_2$ köklerdir.

  Soruda verilen kökler $x_1 = -2$ ve $x_2 = 4$'tür. Bu değerleri genel formda yerine yazarsak:

  $y = a(x - (-2))(x - 4)$

  $y = a(x + 2)(x - 4)$

  Bu denklem, parabolümüzün temel yapısını gösterir. Şimdi 'a' katsayısını bulmamız gerekiyor.

• Adım 2: 'a' Katsayısını Bulmak İçin Verilen Diğer Noktayı Kullanma

  Parabolün y eksenini kestiği noktanın ordinatı $-8$ olarak verilmiş. Bu, parabolün $(0, -8)$ noktasından geçtiği anlamına gelir. Bu nokta, parabolün denklemini sağlamalıdır. Yani, $x=0$ ve $y=-8$ değerlerini bulduğumuz denkleme yerleştirebiliriz:

  $-8 = a(0 + 2)(0 - 4)$

  $-8 = a(2)(-4)$

  $-8 = -8a$

  Her iki tarafı $-8$'e bölersek, 'a' katsayısını buluruz:

  $a = 1$

  Harika! Artık 'a' katsayısını da bulduk.

• Adım 3: 'a' Katsayısını Yerine Koyarak Parabol Denklemini Tamamlama

  Bulduğumuz $a = 1$ değerini Adım 1'deki denkleme geri yerleştirelim:

  $y = 1(x + 2)(x - 4)$

  $y = (x + 2)(x - 4)$

  Şimdi denklemi standart $y = ax^2 + bx + c$ formuna getirmek için parantezleri açmamız gerekiyor.

• Adım 4: Denklemi Açarak Seçeneklerle Karşılaştırılabilir Hale Getirme

  $(x + 2)(x - 4)$ ifadesini dağıtarak çarpma işlemini yapalım:

  $y = x \cdot x + x \cdot (-4) + 2 \cdot x + 2 \cdot (-4)$

  $y = x^2 - 4x + 2x - 8$

  Benzer terimleri birleştirelim:

  $y = x^2 - 2x - 8$

  İşte parabolümüzün denklemini bulduk!

• Adım 5: Sonucu Seçeneklerle Karşılaştırma

  Bulduğumuz denklem $y = x^2 - 2x - 8$'dir. Bu denklemi verilen seçeneklerle karşılaştırdığımızda, A seçeneği ile aynı olduğunu görürüz.

Cevap A seçeneğidir.