Bir matematik öğretmeni tahtaya aşağıdaki sayıları yazmıştır:
-√4, π, 0, 3/2, 2,333..., -5
Öğrencilerinden bu sayıları doğal sayılar, tam sayılar, rasyonel sayılar ve irrasyonel sayılar kümelerine ayırmalarını istemiştir. Buna göre hangi sayı sadece irrasyonel sayılar kümesinde yer alır?
A) -√4
B) π
C) 0
D) 3/2
Sevgili öğrenciler, bu soruda bize verilen sayıları doğal sayılar, tam sayılar, rasyonel sayılar ve irrasyonel sayılar kümelerine ayırmamız ve sadece irrasyonel sayılar kümesinde yer alan sayıyı bulmamız isteniyor. Öncelikle sayı kümelerini kısaca hatırlayalım:
- Doğal Sayılar ($\mathbb{N}$): Sayma sayıları ve $0$'ı içeren kümedir. Yani $\{0, 1, 2, 3, ...\}$ şeklindedir.
- Tam Sayılar ($\mathbb{Z}$): Doğal sayılar, onların negatifleri ve $0$'ı içeren kümedir. Yani $\{..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...\}$ şeklindedir.
- Rasyonel Sayılar ($\mathbb{Q}$): $a$ bir tam sayı ve $b$ sıfırdan farklı bir tam sayı olmak üzere, $\frac{a}{b}$ şeklinde yazılabilen sayılardır. Ondalıklı gösterimleri sonlu veya tekrarlayan (devirli) olabilir.
- İrrasyonel Sayılar ($\mathbb{I}$): Rasyonel olmayan sayılardır. Yani $\frac{a}{b}$ şeklinde yazılamayan sayılardır. Ondalıklı gösterimleri sonsuz ve tekrar etmeyen sayılardır.
Şimdi verilen her bir sayıyı inceleyelim ve hangi kümelere ait olduklarını belirleyelim:
- $-\sqrt{4}$: Bu sayı $-2$'ye eşittir. $-2$ bir tam sayıdır ($\mathbb{Z}$) ve aynı zamanda $\frac{-2}{1}$ şeklinde yazılabildiği için bir rasyonel sayıdır ($\mathbb{Q}$). Doğal sayı ve irrasyonel sayı değildir.
- $\pi$: Bu sayı, ondalık gösterimi sonsuz ve tekrar etmeyen bir sayıdır ($3.14159265...$). $\pi$ bir doğal sayı, tam sayı veya rasyonel sayı değildir. Tanımı gereği sadece bir irrasyonel sayıdır ($\mathbb{I}$).
- $0$: Bu sayı bir doğal sayıdır ($\mathbb{N}$), bir tam sayıdır ($\mathbb{Z}$) ve aynı zamanda $\frac{0}{1}$ şeklinde yazılabildiği için bir rasyonel sayıdır ($\mathbb{Q}$). İrrasyonel sayı değildir.
- $3/2$: Bu sayı $1.5$'e eşittir. Bir doğal sayı veya tam sayı değildir. Tanımı gereği bir rasyonel sayıdır ($\mathbb{Q}$). İrrasyonel sayı değildir.
- $2,333...$: Bu sayı devirli bir ondalık sayıdır ve $\frac{23-2}{9} = \frac{21}{9} = \frac{7}{3}$ şeklinde bir rasyonel sayıya dönüştürülebilir ($\mathbb{Q}$). Bir doğal sayı, tam sayı veya irrasyonel sayı değildir.
- $-5$: Bu sayı bir tam sayıdır ($\mathbb{Z}$) ve aynı zamanda $\frac{-5}{1}$ şeklinde yazılabildiği için bir rasyonel sayıdır ($\mathbb{Q}$). Doğal sayı ve irrasyonel sayı değildir.
Yukarıdaki incelemeler sonucunda, sadece $\pi$ sayısının doğal sayılar, tam sayılar ve rasyonel sayılar kümelerinde yer almadığını, yalnızca irrasyonel sayılar kümesine ait olduğunu görüyoruz.
Cevap B seçeneğidir.
