Bir araştırmada 50 kişinin boy uzunlukları ölçülmüş ve verilerin standart sapması 6.2 cm olarak bulunmuştur. Bu veri grubundaki tüm boy uzunluklarına 2 cm eklendiğinde yeni standart sapma kaç olur?
A) 6.2 cmMerhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, standart sapmanın temel özelliklerinden birini anlamamız gerekiyor. Standart sapma, bir veri grubundaki değerlerin ortalamadan ne kadar saptığını, yani veri grubunun ne kadar yaygın veya değişken olduğunu gösteren bir ölçüdür. Şimdi adım adım bu soruyu çözelim:
Standart sapma, bir veri grubundaki değerlerin ortalamaya göre ne kadar dağıldığını, yani veri grubunun yayılımını ölçer. Eğer standart sapma küçükse, veriler ortalamaya yakın toplanmıştır; büyükse, veriler ortalamadan daha uzakta, daha geniş bir alana yayılmıştır.
Şimdi düşünelim: Elimizde bir grup sayı var (örneğin, 5, 7, 9). Bu sayıların ortalaması 7'dir. Eğer her bir sayıya sabit bir değer eklersek (örneğin, her birine 2 ekleyelim), yeni sayılarımız 7, 9, 11 olur. Bu yeni grubun ortalaması da 9 olur. Gördüğünüz gibi, ortalama da eklenen miktar kadar artar.
Peki, bu sayıların birbirlerine olan uzaklıkları değişti mi? İlk grupta 5 ile 7 arasındaki fark 2, 7 ile 9 arasındaki fark 2'dir. İkinci grupta 7 ile 9 arasındaki fark 2, 9 ile 11 arasındaki fark 2'dir. Sayıların birbirlerine olan uzaklıkları (yani yayılımları) değişmedi!
Standart sapma, her bir veri noktasının ($x_i$) ortalamadan ($\bar{x}$) ne kadar saptığını ölçer. Yani, hesaplamalarımızda $(x_i - \bar{x})$ farklarını kullanırız. Eğer tüm $x_i$ değerlerine sabit bir $k$ sayısı eklersek, yeni değerlerimiz $(x_i + k)$ olur. Aynı şekilde, ortalama da $(\bar{x} + k)$ olur.
Şimdi yeni sapmayı hesaplayalım: $(x_i + k) - (\bar{x} + k)$. Bu ifadeyi düzenlediğimizde, $x_i + k - \bar{x} - k = x_i - \bar{x}$ elde ederiz. Gördüğünüz gibi, her bir veri noktasının ortalamadan sapma miktarı değişmedi! Sapma miktarları değişmediği için, bu sapmaların karelerinin toplamı, varyans ve dolayısıyla standart sapma da değişmez.
Araştırmada ölçülen $50$ kişinin boy uzunluklarının standart sapması $6.2$ cm olarak bulunmuştur. Bu veri grubundaki tüm boy uzunluklarına $2$ cm eklenmesi, her bir kişinin boyunun $2$ cm artması anlamına gelir. Yukarıda açıkladığımız gibi, bir veri grubundaki tüm değerlere sabit bir sayı eklemek veya çıkarmak, veri grubunun yayılımını (dağılımını) değiştirmez. Dolayısıyla, standart sapması da değişmez.
Bu nedenle, yeni standart sapma da başlangıçtaki gibi $6.2$ cm olacaktır.
Cevap A seçeneğidir.
