Sinüs ve kosinüs teoremi Test 2

Bir üçgende iki kenar uzunluğu 10 cm ve 12 cm, bu kenarlar arasındaki açı 60° olduğuna göre, üçüncü kenarın uzunluğu kaç cm'dir?

A) 2√31
B) 2√37
C) 2√39
D) 2√41

Merhaba öğrenciler! Bu soruyu çözmek için Kosinüs Teoremi'ni kullanacağız. Kosinüs Teoremi, bir üçgenin kenar uzunlukları ile bir açısı arasındaki ilişkiyi açıklar. Hadi adım adım ilerleyelim!

• Adım 1: Kosinüs Teoremi'ni Hatırlayalım

Kosinüs Teoremi'ne göre, bir üçgende bir kenarın karesi, diğer iki kenarın kareleri toplamından, bu iki kenarın uzunlukları çarpımının iki katı ile aralarındaki açının kosinüsünün çarpımının çıkarılmasıyla bulunur. Yani:

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos(A)$

Burada:

• $a$, bulunması gereken kenar uzunluğu.
• $b$ ve $c$, diğer iki kenar uzunlukları (10 cm ve 12 cm).
• $A$, $b$ ve $c$ kenarları arasındaki açı (60°).
• Adım 2: Verileri Yerine Koyalım

Şimdi verilenleri formülde yerine yazalım:

$a^2 = 10^2 + 12^2 - 2 \cdot 10 \cdot 12 \cdot \cos(60^\circ)$

• Adım 3: $\cos(60^\circ)$ Değerini Bulalım

$\cos(60^\circ)$'nin değerinin $\frac{1}{2}$ olduğunu hatırlayalım.

• Adım 4: İşlemi Tamamlayalım

Şimdi denklemi çözelim:

$a^2 = 100 + 144 - 2 \cdot 10 \cdot 12 \cdot \frac{1}{2}$

$a^2 = 100 + 144 - 120$

$a^2 = 244 - 120$

$a^2 = 124$

• Adım 5: Kök Alalım

Şimdi $a$'yı bulmak için her iki tarafın karekökünü alalım:

$a = \sqrt{124}$

• Adım 6: Kök İçindeki Sayıyı Sadeleştirelim

$\sqrt{124}$'ü sadeleştirebiliriz. 124, 4 ile 31'in çarpımıdır (124 = 4 * 31). Bu nedenle:

$a = \sqrt{4 \cdot 31}$

$a = \sqrt{4} \cdot \sqrt{31}$

$a = 2\sqrt{31}$

Üçüncü kenarın uzunluğu $2\sqrt{31}$ cm'dir.

Cevap A seçeneğidir.